טבלת קרקטרים

באלגברה מופשטת, טבלת קרקטרים (Character table) של חבורה סופית היא טבלה המייצגת את המידע כל הקרקטרים האי-פריקים שלה. בעמודותיה נתונות מחלקות הצמידות של החבורה, ובשורותיה שמים את הקרקטרים האי-פריקים שלה.

את טבלת הקרקטרים של חבורה נתונה ניתן לבנות בשיטות שונות, כמו יחסי האורתוגונליות של שור, הרמה של הצגות מחבורות מנה ופעולה של הקרטקטרים החד-ממדיים.

הבנת טבלת הקרקטרים של חבורה סופית (ואף קומפקטית) תורמת להבנת כל הקרטקטרים וההצגות שלה באופן מלא. לטבלת הקרקטרים שימושים גם בתחומים נוספים, כמו פיזיקה, כימיה, קריסטלוגרפיה ועוד.

הקדמה והגדרה

טבלת קרקטרים

תהי $G$ חבורה סופית ויהי $F$ שדה נתון (לרוב שדה המספרים המרוכבים). אם מאפיין השדה לא מחלק את סדר החבורה, לפי משפט משקה חוג החבורה $F[G]$ הוא פשוט למחצה, ולכן לפי משפט ודרברן-ארטין מתפרק לסכום ישר של חוגי מטריצות מעל חוגים עם חילוק: $F[G]={\overset {t}{\underset {i=1}{\oplus }}}{M_{n_{i}}(D_{i})}$. לחוגים כאלה מודול אי-פריק יחיד, ולכן מספר ההצגות האי-פריקות של החבורה סופי, שווה למספר המחוברים $t$, השווה גם לממד המרכז $Z(F[G])$, שווה למספר מחלקות הצמידות של $G$.

לכן, ניתן לבנות טבלה ריבועית, אשר בעמודותיה שמים את הקרקטרים $\{\chi _{i}\}_{i=1}^{t}$ (=העקבה) של ההצגות האי-פריקות, ובשורותיה את מחלקות הצמידות $\{C_{i}\}_{i=1}^{t}$ של החבורה. מעל מחלקות הצמידות נהוג לרשום את גודל המחלקה $h_{i}$. במקום ה-$(u,j)$ של הטבלה שמים את $\chi _{u}(C_{j})$ . טבלה זו נקראת טבלת קרקטרים של החבורה.

לכל חבורה יש את הקרקטר הטרוויאלי, ולכן בשורה הראשונה יש אחדות; בעמודה הראשונה שמים את פעולת הקרקרטים על המחלקה של החבורה היחידה, היינו את המספרים $n_{i}$, כלומר הממדים של ההצגות האי-פריקות.

שיטות

כדי למלא את טבלת הקרקטרים ניתן להשתמש במספר שיטות.

גדלים

בנוגע לגדלים, מתקיימים מספר כללים:

• כדי לדעת את גודל הטבלה יש לדעת את מספר מחלקות הצמידות.
• מתקיים $|G|=\sum _{i=1}^{t}{n_{i}^{2}}$, ולעיתים (נדירות) הצגה כזו היא יחידה, ואז יודעים את $t$.
• מתקיים $n_{i}\mid |G|$ (ממד ההצגה מחלק את גודל החבורה), ואפילו $n_{i}\mid [G:Z(G)]$.
• אם $A\leq G$ תת-חבורה אבלית, ממדי ההצגות האי-פריקות $n_{i}$ קטנים מהאינדקס: $n_{i}\leq [G:A]$.
• כדי לדעת (בוודאות) את $n_{i}$, יש להכיר את מבנה החבורה (למשל, את תתי החבורות הנורמליות שלה).

יחסי האורתוגונליות של שור

יחסי האורתוגונליות של שור הם יחסי אורתוגונליות על שורות ועמודות טבלת הקרקטרים העוזרים לחשב את איבריה. שני יחסי שור השימושיים ביותר הם:

$\sum _{u}{{\overline {\chi _{u}(g_{i})}}\chi _{u}(g_{j}})={\frac {|G|}{h_{j}}}\delta _{i,j}$ (עמודות)

$\sum _{j}{h_{j}\chi _{u}(g){\overline {\chi _{v}(g)}}=\delta _{u,v}|G|}$ (שורות)

הרמה מחבורות מנה

ניתן להרים הצגות (ולכן טבלאות חלקיות) של חבורת מנה נתונה אל הצגה של החבורה. כלומר, אם $H$ תת-חבורה נורמלית וידועה הצגה $\phi$ של $G/H$, מקבלים הצגה של $G$ על ידי הרכבה עם העתקת המנה $\rho \circ \phi$.

מקרה שימושי במיוחד של הרמה הוא עבור $H=[G,G]$, תת-חבורת הקומוטטורים. במקרה זה $G/[G,G]$ היא האבליניזציה של $G$ ובפרט אבלית - כלומר כל הצגה שלה היא חד ממדית (אל השדה), ויותר מכך - כל הצגה אבלית של $G$ היא הרמה של הצגה כלשהי של $G/[G,G]$, בדיוק לפי התכונה האוניברסלית של האבליניזציה. בפרט, מספר הגורמים האי-פריקים מדרגה 1 (ולכן גם מספר ה-$1^{2}$ שמשתתפים בסכום $|G|=\sum _{i=1}^{t}{n_{i}^{2}}$) שווה ל-$|G/[G,G]|$.

פעולת הקרקטרים החד-ממדיים

אם $\rho$ הצגה חד-ממדית, אז לכל הצגה $k$-ממדית $\phi$, גם $\rho \circ \phi$ אף היא הצגה. לכן מוגדרת פעולת חבורה של הקרקטרים החד-ממדיים (או בשקילות של $G/[G,G]$) על הקרקטרים, השומרת על ממד. ולכן, אם ידוע כי יש שתי הצגות שונות מאותו ממד, יכול להיות שאחת תתקבל מהשנייה על ידי הפעלה של קרקטר חד-ממדי לא טריוויאלי (אם זה קיים).

מכפלת חבורות

טבלת הקרקטרים של מכפלה ישרה של חבורות $G\times H$ היא המכפלה טנזורית של הטבלאות שלהן.

דוגמאות

• חבורות ציקליות - במקרה של חבורות ציקליות המצב פשוט יותר, כי אנו יודעים מראש את כל ההצגות - הן מהצורה $1\mapsto \rho _{n}^{j}$, כלומר העברת היוצר אל חזקה של שורש יחידה. בפרט, טבלת הקרקטרים היא $(\rho _{n}^{ij})_{i,j=1}^{n}$. למשל, הטבלה של $\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ היא

${\begin{pmatrix}1&1&1\\1&\rho _{3}&\rho _{3}^{2}\\1&\rho _{3}^{2}&\rho _{3}\end{pmatrix}}$

• חבורות אבליות - לפי הטענה לעיל על הטבלה של מכפלת חבורות ולפי מיון חבורות אבליות סופיות, מקבלים את כל הטבלאות של כל החבורות האבליות הסופיות.

• $S_{3}$ - נחשב ישירות את הטבלה של החבורה הסימטרית השלישית. יש בה 6 איברים, וההצגה היחידה של 6 כסכום של ריבועים שלמים היא $6=1^{2}+1^{2}+2^{2}$. ואכן, יש שלוש מחלקות צמידות, מהצורה: $(\cdot ),(\cdot \cdot \cdot ),(\cdot \cdot )$. ההצגה השנייה היא הצגה הסימן, הצגה שיש בכל חבורה סימטרית על ידי העתקת הסימן. את השורה השלישית ניתן למצוא לפי יחס האורתוגונליות. סה"כ הטבלה היא ${\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\2&-1&0\end{pmatrix}}$.

• חבורות הסימטריה $S_{n}$ - באופן כללי, מבנה ההצגות של חבורות הסימטריה ידוע על פי דיאגרמות יאנג. כך ניתן למצוא את טבלת הקרקטרים, שאיברי יהיו תמיד מספרים שלמים. לפרטים, ראו למשל כאן.

• חבורות דיהדרליות $D_{n}$ - במקרה זה יש מבנה מפורש של מחלקות הצמידות ושל הטבלאות, התלוי בזוגיות של $n$. למבנה המלא ראו למשל כאן.