משפט משקה

משפט משקה (Maschke) הוא אבן הפינה של תורת ההצגות של חבורות סופיות. את המשפט הוכיח המתמטיקאי הגרמני היינריך משקה ב-1898.

המשפט קובע שאם $G$ חבורה סופית ו- $k$ שדה שהמאפיין שלו אינו מחלק את סדר החבורה, אז אלגברת החבורה $\ k[G]$ פשוטה למחצה. פירושו של דבר הוא שכל מודול מעל אלגברת החבורה מתפרק לסכום ישר של מודולים אי-פריקים, ובמלים אחרות, כל הצגה של החבורה מתפרקת לסכום ישר של הצגות אי-פריקות. עובדה זו הופכת את ההצגות האי-פריקות להצגות היחידות שיש צורך ללמוד, משום שדרכן אפשר לפענח כל הצגה אחרת.

ככל אלגברה פשוטה למחצה ממימד סופי, כאשר המאפיין אינו מחלק את סדר החבורה, אלגברת החבורה עצמה מתפרקת לסכום ישר של חוגים פשוטים ארטיניים, שהם לפי משפט ודרברן אלגברות מטריצות מעל אלגברות חילוק. בפרט, אלגברת החבורה מעל שדה המספרים המרוכבים (או כל שדה סגור אלגברית אחר) היא סכום ישר של אלגברות מטריצות מעל שדה הבסיס עצמו, ומן הפירוק הזה אפשר לקרוא ישירות את ממדי ההצגות האי-פריקות.

משפט משקה נכון גם כאשר הפעולה באלגברת החבורה איננה טריוויאלית. אלגברת החבורה בעלת הכפל המעוות $F^{\sigma }[G]$ היא האלגברה בעלת המבנה של אלגברת החבורה, פרט לכפל הנתון על ידי $r_{g}\cdot r_{h}=c_{g,h}r_{gh}$ , עבור 2-קו-ציקלוסים $c_{g,h}\in F^{\times }$ המקיימים $c_{g,h}c_{gh,i}=c_{h,i}c_{g,hi}$ . כעת, משפט משקה המוכלל קובע כי כאשר $|G|$ הפיך ב- $F$ , האלגברה $F^{\sigma }[G]$ היא פשוטה למחצה.

אם המאפיין של השדה מחלק את סדר החבורה אז אלגברת החבורה לעולם אינה פשוטה למחצה, ובמקרה זה, המכונה "המקרה המודולרי", תורת ההצגות אכן מסובכת בהרבה. לדוגמה, באלגברת החבורה של חבורה ציקלית מסדר ראשוני $p$ מעל שדה ממאפיין $p$ , יש איבר נילפוטנטי מסדר $p$ : $\ k[C_{p}]=k[x|x^{p}=1]\cong k[t|t^{p}=0]$ על ידי ההצבה $\ t=x-1$ .