חבורת וייטהד המצומצמת
חבורת וייטהד המצומצמת של חוג A היא חבורה אבלית, שמסמנים $ \operatorname {SK} _{1}(A) $, המודדת באיזו מידה מטריצות בעלות דטרמיננטה 1 מעל A הן מכפלה של קומוטטורים. אפשר להגדיר את החבורה כשיש דטרמיננטה מחבורות המטריצות מעל החוג; למשל כאשר A קומוטטיבי, או כאשר A אלגברה פשוטה מרכזית. זוהי תת-חבורה של חבורת וייטהד $ \operatorname {K} _{1}(A) $ המוגדרת עבור כל חוג A. החבורה קרויה על שמו של המתמטיקאי הבריטי ג'ון וייטהד.
חוגים קומוטטיביים
יהי A חוג קומוטטיבי. נסמן ב-$ \operatorname {GL} (A) $ את חבורת המטריצות ההפיכות מכל סדר מעל A (גבול ישר של חבורות המטריצות מממדים סופיים). הדטרמיננטה מגדירה סדרה קצרה מדויקת $ 1\to \operatorname {SL} (A)\to \operatorname {GL} (A)\to A^{*}\to 1 $. חלוקה בחבורת הקומוטטורים $ [\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)] $ מגדירה את הסדרה $ 1\to \operatorname {SK} _{1}(A)\to \operatorname {K} _{1}(A)\to A^{*}\to 1 $, כאשר $ \operatorname {K} _{1}(A)=\operatorname {GL} (A)/[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)] $, ו-$ \operatorname {SK} _{1}(A) $ הוא הגרעין של הדטרמיננטה מהחבורה הזו לחבורת ההפיכים של A. הסדרה הזו מפוצלת: $ \operatorname {K} _{1}(A)=A^{*}\oplus \operatorname {SK} _{1}(A) $.
אלגברות פשוטות מרכזיות
תהי A אלגברה פשוטה מרכזית מממד סופי מעל שדה F כלשהו. אפשר לשכן אותה באלגברת מטריצות מעל שדה הפיצול של F, וכך להפעיל את ההגדרות של המקרה הקומוטטיבי. באופן יותר מפורש, יש פונקציה כפלית $ N:A^{\times }\rightarrow F^{\times } $ (הנורמה המצומצמת), המתלכדת עם הנורמה על כל תת-שדה. את חבורת האיברים בעלי נורמה 1 מסמנים ב-$ \operatorname {SL} _{1}(A) $. תת-חבורת הקומוטטורים $ A' $ של $ A^{\times } $ מוכלת ב-$ \operatorname {SL} _{1}(A) $, וחבורת המנה $ \operatorname {SL} _{1}(A)/A' $ היא חבורת וייטהד המצומצמת של A; מסמנים אותה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \operatorname{SK}_1(A) .
השערת Tannaka-Artin (שהיא השערת Kneser-Tits לחבורות אלגבריות מטיפוס $ A_{n} $) סברה ש-$ \operatorname {SK} _{1}(A)=1 $ פרט לשני מקרים יוצאי דופן (מטריצות מממד 2 מעל שדה מסדר 2 או 3). השערה זו הופרכה על ידי פלטונוב (1975).
תוצאות כלליות
החבורה $ \operatorname {SK} _{1} $ טריוויאלית עבור מטריצות מעל השדה (פרט ליוצאי הדופן שהוזכרו לעיל). החבורה תלויה רק במחלקה של A בחבורת בראוור (בזכות דטרמיננטת דודונה). האקספוננט שלה מחלק את האינדקס של האלגברה. והיא כפלית ביחס לפירוק למכפלה טנזורית של אלגברות מדרגות זרות. מסיבות אלה מספיק להבין את $ \operatorname {SK} _{1}(A) $ כאשר A אלגברת חילוק מדרגה שהיא חזקת ראשוני. החבורה טריוויאלית עבור אלגברות מדרגה ראשונית (Wang, 1950).
תלות בתכונות של שדה הבסיס
$ \operatorname {SK} _{1} $ טריוויאלית מעל שדות מקומיים ומעל שדות מספרים. יינצב'סקי הראה ש-$ \operatorname {SK} _{1}(A)=1 $ אם שדה הבסיס הוא בעל התכונה $ C_{2}^{0} $ (העתקת הנורמה היא על לכל אלגברה פשוטה מרכזית מעל הרחבה סופית; כל שדה בעל התכונה $ C_{2} $ הוא גם $ C_{2}^{0} $, אבל לא להפך). מהתכונה $ C_{2}^{0} $ נובע ש-$ \operatorname {cd} (F)\leq 2 $ כאשר $ \operatorname {cd} (F) $ הוא הממד הקוהומולוגי של F; ואם F שדה מושלם, גם להפך (מרקורייב-סוסלין, 1985).
תהי A אלגברה שהאינדקס שלה הוא חזקת-p. אם F שדה ממאפיין שונה מ-p וממד-p הקוהומולוגי של F הוא לכל היותר 2, אז $ \operatorname {SK} _{1}(A)=1 $.
אם $ \operatorname {cd} (F)\leq 3 $ אז $ \operatorname {SK} _{1}(Q\otimes Q')=1 $ לכל שתי אלגברות קווטרניונים Q ו-'Q. השערת סוסלין היא שזה נכון לכל אלגברה.
מקורות
- Nicolas Grenier-Boley, On the triviality of certain Whitehead groups, Mat Proc Roy Irish Acad 107(2):183--193, (2007).
חבורת וייטהד המצומצמת35942441