אלגברה פשוטה מרכזית

במתמטיקה, אלגברה פשוטה מרכזית הנה אלגברה פשוטה מממד סופי מעל המרכז שלה. האלגבראות הפשוטות הנן אבני היסוד בתורת המבנה של אלגבראות, ומחקרן תורם להבנת המבנה הכללי של חוגים. לאובייקטים אלו מבנה עשיר, הקשור גם לתחומים אחרים במתמטיקה, כמו תורת הקוהומולוגיה של מבנים אלגבריים שונים.

תורת המבנה

על פי משפט ודרברן-ארטין, כל אלגברה פשוטה מרכזית $A$ מעל שדה $F$ איזומורפית לחוג מטריצות מעל חוג עם חילוק $A\cong M_{n}(D)\cong M_{n}(F)\otimes D$; חוג זה יחיד עד כדי איזומורפיזם, ומהווה אף הוא אלגברה פשוטה מרכזית (מעל אותו השדה). נובע כי הממד של אלגברה פשוטה מרכזית הוא מספר ריבועי. המכפלה הטנזורית של אלגבראות פשוטות מרכזיות אף היא פשוטה מרכזית (על פי משפט המרכז הכפול). על פי משפט סקולם-נתר, כל אוטומורפיזם של אלגברה פשוטה מרכזית הוא אוטומורפיזם פנימי - כלומר, הצמדה באיבר מהאלגברה; משפט זה מאפשר להוכיח טענות רבות בתחום.

האינדקס של האלגברה הפשוטה המרכזית $A$ הנו הממד של חוג החילוק הליבתי שלה: $ind(A)=[D:F]$. בהינתן פירוק לגורמים ראשוניים של האינדקס, $ind(D)=\prod _{i=1}^{k}{p_{i}^{n_{i}}}$, ניתן לכתוב $D\cong {\overset {k}{\underset {i=1}{\otimes }}}{D_{i}}$ כאשר $D_{i}$ אלגברת חילוק מממד $p_{i}^{n_{i}}$. לכן, כל אלגברה פשוטה מרכזית ניתן להביא למבנה $A\cong M_{n}(F)\otimes \left({\overset {k}{\underset {i=1}{\otimes }}}{D_{i}}\right)$.

דוגמאות

הדוגמא הבסיסית לאלגבראות פשוטות מרכזיות היא מעל שדה המספרים הממשיים $R$, הכוללות את שדה הממשיים עצמו $\mathbb {R}$, שדה המספרים המרוכבים $\mathbb {C}$ ואלגברת הקווטרניונים של המילטון $\mathbb {H}$, ואת כל חוגי המטריצוח מעליהם. כמסקנה ממשפט הורוויץ, המסווג תכונות של אלגבראות הרכבה מעל שדות ממאפיין לא 2, אלו הן האלגבראות הפשוטות (האסוציאטיביות) היחידות מעל שדה הממשיים.

דוגמאות מעט כלליות יותר לאלגבראות פשוטות מרכזיות הן האלגבראות ציקליות, המכילות תת-שדה גלואה מקסימלי המהווה הרחבה ציקלית מעל שדה הבסיס; מבנים אלו כוללים בפרט את כל אלגבראות הקווטרניונים - אלגבראות ציקליות מממד 4 , הכוללות את כל האלגבראות הפשוטות המרכזיות מממד 4.

חבורת בראוור

ערך מורחב – חבורת בראוור

לאחר היכרות בסיסית עם מבנה האלגבראות הפשוטות המרכזיות, ניתן להגדיר את חבורת בראוור. שתי אלגבראות פשוטות מרכזיות $A_{1},A_{2}$ מעל אותו שדה הנן שקולות לפי יחס בראוור אם יש להן אותה אלגברת חילוק ליבתית, כלומר $A_{1}\cong M_{n}(D)$ ו-$A_{2}\cong M_{m}(D)$. כעת, חבורת בראוור $Br(F)$ של השדה $F$ הנה חבורה אשר איבריה הם מחלקות השקילות הללו, בה הפעולה הנה מכפלה טנזורית והאיבר ההפכי הוא האלגברה המנוגדת.

בהינתן הרחבת גלואה $K/F$, חבורת בראוור היחסית להרחבה זו הנה החבורה $Br(K/F)$ המכילה את כל האלגבראות המפוצלות על ידי השדה $K$. איחוד על כל הרחבות הגלואה של חבורות הבראוור היחסיות נותן את חבורת בראוור של השדה.

חבורת בראוור הנה אובייקט בעל מבנה עשיר ומעניין, הקשור גם לתורת הקוהומולוגיה של מבנים אלגבריים. למידת מבנה החבורה ותכונותיה מאפשרת הסקת מסקנות אודות תיאורית המבנה של אלגבראות פשוטות מרכזיות.

הכללה - אלגבראות ספרביליות מרכזיות

ערך מורחב – אלגברת אזומיה

הכללה טבעית למבנה זה הנה למקרה שבו מבנה הבסיס איננו שדה; במקרה זה, חוקרים אלגבראות ספרביליות מרכזית - אלו הן אלגבראות נאמנות, ספרביליות ומרכזיות מעל חוג בסיס נתון. תכונות מבנה רבות שמתקיימות בתורה שהוצגה לעיל, נשמרות גם כאשר עוברים למקרה הכללי יותר (כמו מכפלות טנזוריות, משפט המרכז הכפול). בפרט, ניתן להגדיר את חבורת בראוור של חוג באופן דומה כלעיל.

ראו גם

• חוג פשוט
• חבורת בראוור
• אלגברת אזומיה

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0