זרם העתקה

בתורת האלקטרומגנטיות, צפיפות זרם ההעתקה (באנגלית: Displacement current) הוא הגודל $\epsilon _{0}\partial {\vec {E}}/\partial t$ שמופיע במשוואה הרביעית מבין ארבע משוואות מקסוול. לצפיפות זרם ההעתקה יש אותן יחידות מידה כמו לצפיפות זרם חשמלי, והוא מהווה מקור של שדה מגנטי בדיוק כשם שזרם אמיתי של מטענים חשמליים יוצר שדה מגנטי. אף על פי כן, הוא אינו זרם אמיתי של מטענים נעים, אלא זרם "דמיוני" המקושר לשדה חשמלי משתנה בזמן.

הרעיון שזרם העתקה יוצר שדות מגנטיים בדומה לזרם חשמלי אמיתי נהגה לראשונה על ידי ג'יימס קלארק מקסוול במאמר מ-1861, שהבחין בחוסר שלמות בתיאור הפיזיקלי והמתמטי של שדות חשמליים ומגנטיים. מקסוול הוסיף את זרם ההעתקה לאיבר הזרם החשמלי בחוק אמפר, במה שמכונה מאז תיקון מקסוול לחוק אמפר. במאמרו "תאוריה דינמית של השדה האלקטרומגנטי" מ-1865, מקסוול עשה שימוש בגרסה מתוקנת זאת של חוק אמפר כדי לגזור את משוואת הגל האלקטרומגנטי. גזירה זאת מוכרת כיום כנקודת ציון היסטורית בפיזיקה ומשום שליכדה את תורות החשמל, המגנטיות והאופטיקה לכדי מקשה מושגית אחת, תאוריה מאוחדת בה דבק השם "אלקטרומגנטיות". איבר זרם ההעתקה מזוהה כעת כתוספת חיונית שהשלימה את משוואות מקסוול והכרחית להסברת תופעות רבות, במיוחד את קיומם של גלים אלקטרומגנטיים.

שיום המונח "זרם העתקה" נבחר על ידי מקסוול על בסיס האנלוגיה המתקיימת בין האיבר שהוסיף לבין שדה הקיטוב המופק מפעולתו של שדה חשמלי על חומר דיאלקטרי - פעולה שמתרחשת עקב הפרדת מטענים בקנה המידה האטומי, שיוצרת דיפולים חשמליים ומחוללת מעין העתקה של חשמל לרוחב התווך הדיאלקטרי. כלומר, בדיוק כשם ששדה חשמלי משתנה בזמן גורם לזרם קיטוב (Polarization current) בתווך דיאלקטרי (הודות לשדה הקיטוב המשתנה בזמן), כך שדה חשמלי משתנה בזמן גורם לזרם העתקה בריק; האנלוגיה היא להעתקה של המטען החשמלי המתרחשת בתווך דיאלקטרי.

הכרחיות

הדרישה לקיום זרם העתקה תואמת תצפיות ניסיוניות, והיא גם תולדה של הדרישה לעקביות לוגית של תורת האלקטרומגנטיות.

הכללת חוק אמפר

זרם בקבלים

קבל נטען חשמלית עם משטח גלילי דמיוני המקיף את הלוח השמאלי שלו. העקביות של חוק אמפר דורשת קיום של זרם העתקה בין לוחות הקבל השווה בערכו לזרם הטוען אותו.

דוגמה שממחישה את הצורך בזרם העתקה עולה בהקשר של קבלים ללא תווך חומרי בין לוחותיהם. נתייחס לקבל הנטען שבאיור. הקבל הוא חלק ממעגל חשמלי שמוליך מטענים שווים והפוכים בסימנם מן הלוח השמאלי ללוח הימני, מה שטוען את הקבל ומגדיל את השדה החשמלי בין לוחותיו. שום מטען אמיתי לא מוסע דרך הריק שבין הלוחות. אף על פי כן, שורר שדה מגנטי בין הלוחות ממש כאילו נמצא גם שם זרם. הסבר אחד לכך הוא שזרם העתקה I_D "זורם" בין הלוחות, וזרם זה מפיק את השדה המגנטי שבאזור בין הלוחות בהתאם לחוק אמפר:

$\oint _{C}\mathbf {B} \ {\boldsymbol {\cdot }}\ \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I_{D}\ .$

כאשר

• $\oint _{C}$ הוא האינטגרל הקווי מסביב לעקום סגור מסוים C.
• $\mathbf {B}$ הוא השדה המגנטי.
• ${\boldsymbol {\cdot }}\$ היא המכפלה הסקלרית של וקטורים.
• $\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$ הוא אלמנט האורך האינפיניטסימלי לאורך העקום C, כלומר וקטור שגודלו שווה לאלמנט האורך של C, וכיוונו ניתן על ידי כיוון המשיק לעקום C.
• $\mu _{0}\!\$ הוא הקבוע המגנטי המכונה הפרמביליות של מרחב ריק.
• $I_{D}\!\$ הוא זרם ההעתקה שעובר דרך משטח קטן התחום על ידי העקום C.

השדה המגנטי בין הלוחות צריך להיות זהה לזה שמחוץ ללוחות, כך שזרם ההעתקה חייב להיות זהה לזרם ההולכה בתיל, כלומר,

$I_{D}=I\ ,$

מה שמרחיב את מושג הזרם מעבר להסעה נטו של מטענים.

יותר מכך, זרם ההעתקה הזה קשור לטעינה של הקבל. נתייחס לזרם במשטח הגלילי הדמיוני שמקיף את הלוח השמאלי (ראו איור). זרם זה, שנקרא לו I, יוצא מהבסיס השמאלי L של הגליל, אבל שום זרם הולכה (הסעה של מטענים אמיתיים) לא חוצה את הבסיס הימני R. שימו לב שהשדה החשמלי בין הלוחות E גדל כשהקבל נטען. כלומר, באופן המתואר על ידי חוק גאוס, ובהנחת היעדר תווך דיאלקטרי בין הלוחות, מתקיים:

$Q(t)=\varepsilon _{0}\oint _{\mathcal {S}}d\mathbf {\mathcal {S}} \ {\boldsymbol {\cdot }}\ {\boldsymbol {E}}(t)\,$

כאשר S מתייחס למשטח הגלילי הדמיוני. בהנחת קבל לוחות מקבילי עם זרם חשמלי אחיד, ובהזנחת אפקטי שפה בסביבת הקצוות של הלוחות, גזירה נותנת:

${\frac {dQ}{dt}}=-{\mathit {I}}=-\varepsilon _{0}\oint _{\mathcal {S}}d\mathbf {\mathcal {S}} \ {\boldsymbol {\cdot }}\ {\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}\approx -{S}\ \varepsilon _{0}{\frac {\partial E}{\partial t}}\,$

כאשר הסימן הוא שלילי משום שמטען עוזב את הלוח הזה (המטען עליו פוחת), וכאשר S הוא שטח הבסיס R. השדה החשמלי בניצב לבסיס L הוא אפס בקירוב מפני שהשדה אודות למטען על הלוח השמאלי מתבטל כמעט במלואו על ידי השדה שנוצר על ידי המטען השווה ומנוגד בסימנו שעל הלוח הימני. תחת ההנחה של שדה חשמלי אחיד בתוך הקבל, צפיפות זרם ההעתקה J_D ניתנת לקביעה על ידי חלוקת הביטוי שהתקבל בשטח של R:

$J_{D}={\frac {I_{D}}{S}}={\frac {I}{S}}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial E}{\partial t}}={\frac {\partial D}{\partial t}}\,$

כאן I הוא הזרם האמיתי שעוזב את המשטח הגלילי.

משילוב התוצאות הללו, השדה המגנטי מחושב דרך הצורה האינטגרלית של חוק אמפר באמצעות בחירה שרירותית של קונטור ובהינתן שאיבר צפיפות זרם ההעתקה נוסף לצפיפות זרם ההולכה (משוואת אמפר-מקסוול):

$\oint _{\partial S}{\boldsymbol {B}}\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\int _{S}\left({\boldsymbol {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}\right)\cdot d{\boldsymbol {S}}\,$

משוואה זאת פירושה שהאינטגרל של השדה המגנטי B מסביב ללולאה S∂ שווה לסך הזרם J דרך כל משטח שהלולאה היא חלק משפתו, ועוד איבר זרם ההעתקה ε₀ ∂E / ∂t דרך המשטח.

דוגמה המראה את המשטחים S₁ ו-S₂, החולקים את אותו קונטור שפה S∂. עם זאת, S₁ "מנוקב" על ידי זרם הולכה, בעוד ש-S₂ מנוקב על ידי זרם העתקה.

כפי שמוראה באיור משמאל, הזרם דרך S₁ הוא לגמרי זרם הולכה. יישום משוואת אמפר-מקסוול למשטח S₁ נותן:

$B={\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}}\,$

עם זאת, הזרם שחולף דרך S₂ הוא לגמרי זרם העתקה. יישום החוק הזה למשטח S₂, אשר תחום על ידי בדיוק אותו עקום $\partial S$ אולם נמצא בין הלוחות, מניב:

$B={\frac {\mu _{0}I_{D}}{2\pi r}}\,$

עבור כל משטח S₁ שחותך את התיל ישנו זרם I שעובר דרכו כך שחוק אמפר נותן את השדה המגנטי הנכון. עם זאת, ניתן לשרטט גם משטח שני S₂ התחום על ידי אותה הלולאה δS ועובר בין הלוחות, כך שלא עובר דרכו שום זרם. ללא איבר זרם ההעתקה חוק אמפר ייתן שדה מגנטי אפס עבור המשטח הזה. במילים אחרות, ללא מושג זרם ההעתקה חוק אמפר מספק תוצאות לא עקביות, והשדה המגנטי יהיה תלוי במשטח האינטגרציה שנבחר. לכן איבר זרם ההעתקה ε₀ ∂E / ∂t הוא הכרחי כמקור שני של השדה המגנטי, אשר נותן את השדה המגנטי הנכון כאשר משטח האינטגרציה עובר בין לוחות הקבל.

לצורך השלמת הדיון בדוגמת הקבל הנטען, נשים לב לאי-התאמה לכאורה בין השדה המגנטי הנוצר בין לוחות הקבל לבין השדה המגנטי הנוצר מחוץ ללוחות הקבל (כתוצאה מהזרם האמיתי העובר בתיל הטוען את הקבל). השדה החשמלי בין לוחות הקבל משתנה בזמן אך הוא אחיד במרחב ביניהם (בהנחת קבל אידיאלי); לפי הגדרת זרם ההעתקה, פירוש הדבר הוא שבמרחב בין לוחות הקבל שורר זרם העתקה בצפיפות אחידה. לפי משוואת אמפר-מקסוול בצורתה האינטגרלית, ותוך שימוש בסימטריה הגלילית של הבעיה, נקבל שמופיעים בין לוחות הקבל קווי שדה מגנטי מעגליים ומקבילים ללוחות, כשעוצמת השדה המגנטי בנקודה מסוימת פרופורציונלית למרחק $r$ של הנקודה מציר הסימטריה הגלילית (הציר שעובר דרך מרכזי הלוחות). לעומת זאת, השדה החשמלי של קבל אידיאלי מחוץ למרחב שבין לוחות הקבל הוא אפס, ולכן זרם ההעתקה השורר שם הוא גם אפס. לפיכך, מחוץ ללוחות הקבל שורר שדה מגנטי בעל סימטריה גלילית הנובע אך ורק מהזרם האמיתי העובר דרך התיל, אשר עוצמתו דועכת לפי $1/r$ (שדה מגנטי של חצי תיל-אינסופי). כלומר בהכרח מתקבלת אי-רציפות בגודל השדות המגנטיים במעבר דרך לוחות הקבל.

הפתרון לסתירה נעוץ בעובדה שעל גבי לוח הקבל המוליך זורם זרם חשמלי רדיאלי, זאת שכן על מנת שיתקבל שדה חשמלי אחיד בין הלוחות צריכים הלוחות להיטען בצפיפות משטחית אחידה. זרם רדיאלי זה (שהוא בעל סימטריה גלילית) מסביר את הקפיצה בערך השדה המגנטי משתי צידי לוח הקבל. חישוב מדוקדק העושה שימוש בהנחה שבכל רגע לוח הקבל טעון בצפיפות מטען משטחית אחידה, מגלה שוויון מושלם בין ערך הקפיצה בשדה המגנטי המחושב בשתי הדרכים, באופן שממחיש את שלמות מערכת משוואות מקסוול.

ניסוח מתמטי

בנימה יותר מתמטית, אותן התוצאות יכולות להיות מושגות ממניפולציות על המשוואות הדיפרנציאליות השלטות. נתייחס לשם פשטות לתווך לא-מגנטי בו הפרמביליות המגנטית היא אחד, והסיבוכים הקשורים בזרם מגנטיזציה (זרם קשור) אינם קיימים, כך ש-'M'=0 ו- J = J_f. הזרם שעוזב נפח נתון חייב להיות שווה לקצב שבו מתרוקן המטען החשמלי התחום באותו נפח. בצורה דיפרנציאלית משוואת רציפות זאת מקבלת את הצורה:

$\nabla \cdot {\boldsymbol {J_{f}}}=-{\frac {\partial \rho _{f}}{\partial t}}\,$

כאשר אגף שמאל הוא הדיברגנץ של צפיפות הזרם החופשי ואגף ימין הוא קצב השינוי של צפיפות המטען החופשי. חוק אמפר בצורתו המקורית קובע:

${\boldsymbol {\nabla \times B}}=\mu _{0}{\boldsymbol {J}}_{f}\,$

מהזהות הווקטורית הכללית $\nabla \cdot ({\boldsymbol {\nabla \times B}})=0$ (שקובעת כי עבור כל שדה וקטורי, הדיברגנץ של הרוטור מתאפס) נקבל שהדיברגנץ של איבר הזרם מתאפס, בסתירה למשוואת הרציפות. הסתירה הזאת מיושבת על ידי הוספה של זרם ההעתקה, כדלהלן:

${\boldsymbol {\nabla \times B}}=\mu _{0}\left({\boldsymbol {J}}+\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}\right)=\mu _{0}\left({\boldsymbol {J}}_{f}+{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}\right)\,$

ו-

${\boldsymbol {\nabla \cdot }}\left({\boldsymbol {\nabla \times B}}\right)=0=\mu _{0}\left(\nabla \cdot {\boldsymbol {J}}_{f}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {\nabla \cdot D}}\right)\,$

מה שמתיישב עם משוואת הרציפות בגלל חוק גאוס

${\boldsymbol {\nabla \cdot D}}=\rho _{f}\ .$

התקדמות גלים אלקטרומגנטיים

גלים אלקטרומגנטיים ניתנים לתיאור כגלי תנודה רוחביים בשדה החשמלי והמגנטי. אנימציה תלת-ממדית זו מראה גל מישורי בעל קיטוב ליניארי המתקדם משמאל לימין. שימו לב שהשדה החשמלי והמגנטי בגל כזה הם בעלי אותו מופע, ומגיעים לנקודות המינימום והמקסימום שלהם ביחד.

כיוון שתוספת זרם ההעתקה מצביעה למעשה על יחס סימטרי בין שדה חשמלי ושדה מגנטי - שדה חשמלי משתנה בזמן מחולל שדה מגנטי משתנה במרחב ואילו שדה מגנטי משתנה בזמן מחולל שדה חשמלי משתנה במרחב - היא מרמזת על אפשרות הקיום של אוסצילציות בשדות הללו המתקדמות במרחב ריק (נקי ממטענים וזרמים), במעין מחזור פרפטואלי של השראת שדה חשמלי ושדה מגנטי. זוהי התחזית המובהקת ביותר של רעיון זרם ההעתקה - קיומם של גלים אלקטרומגנטיים.

נתייחס כעת לגל אלקטרומגנטי מישורי המתקדם בכיוון ציר x, אשר לו וקטור שדה חשמלי שמצביע בכיוון ציר y ווקטור שדה מגנטי שמצביע בכיוון ציר z. ננסה לקבל ביטוי למהירות ההתקדמות של הפרעות רוחביות כאלו בשדה האלקטרומגנטי. ראשית נרשום את המשוואות הקושרות בין הנגזרות הזמניות לנגזרות המרחביות של השדות.

לפי חוק פראדיי מתקיים:

${\frac {\partial B_{z}}{\partial t}}={\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}$,

כאשר לשני האגפים סימן חיובי בהתאם לכלל יד ימין. בדומה לכך, לפי התיקון של מקסוול לחוק אמפר (איבר זרם ההעתקה) מתקיים:

${\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}=\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial E_{y}}{\partial t}}$

כעת ניזכר במודל של גל המתקדם בכיוון ציר x (משוואת הגלים) - לפי מודל זה הנגזרת הזמנית של כל שדה בנפרד קשורה לנגזרת המרחבית שלו על ידי פקטור של מהירות הגל c:

${\frac {\partial B_{z}}{\partial t}}=-c{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}},{\frac {\partial E_{y}}{\partial t}}=-c{\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}$

מהצבת שתי המשוואות האחרונות בשתיים הראשונות נקבל:

$-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}=-c\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}\implies c={\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}}$

זוהי מהירות התקדמותם של גלים אלקטרומגנטיים בריק - או מהירות האור בריק.

היסטוריה ופרשנות

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

איבר זרם ההעתקה של מקסוול נקבע כהנחת יסוד בחלק השלישי של מאמרו מ-1861 "על קווים פיזיקליים של כוח". מעט נושאים בפיזיקה מודרנית גרמו לבלבול וחוסר הבנה כה רב כמו רעיון זרם ההעתקה. זה הרבה הודות לעובדה שמקסוול נעזר ב"ים של מערבולות מולקולריות" בגזירה שלו, מעין מודל מכני מתוחכם ומסורבל ביותר לתווך המגנטו-חשמלי המסתורי הממלא את המרחב - האתר. זה עומד בניגוד להצגת הנושא כפי שמופיעה טקסטים מודרניים, שנסמכת על העובדה שזרם העתקה יכול להתקיים במרחב ריק.

מודל "האתר התאי" של מקסוול דימה את המרחב כמרוצף על ידי תאים בצורת פאונים (תריסרונים בגרסאות מסוימות של המודל) המלאים בחומר אלסטי, בעוד קירות התאים הורכבו משכבה של חלקיקים כדוריים קטנים, אשר פעלו כמעין מסבים כדוריים המתגלגלים ללא החלקה. בקונספציה של מקסוול, עוצמת השדה המגנטי באזור קטן נמדדת על ידי קצב הסיבוב של התא המתאים. כאשר במרחב שורר שדה מגנטי לא אחיד, תאים סמוכים יסבבו בקצבים שונים, וכתוצאה המסבים הכדוריים ינועו בכיוון התא המהיר יותר, בנימה דומה לעקרון של גלגלי שיניים דיפרנציאליים. מקסוול פירש את התנועה של החלקיקים הללו כמייצגת תנועה של מטענים חשמליים (זרם חשמלי) ואת הקשר בין קצב סיבוב לא אחיד של התאים לתנועת החלקיקים כאנלוג המכני של חוק אמפר המקורי ${\boldsymbol {\nabla \times B}}=\mu _{0}{\boldsymbol {J}}\,$. כדי לדמות את זרם ההעתקה במעגלים פתוחים (כמו בדוגמת הקבל הנטען) הוא קבע תכונה של מעוות אלסטי המתקדם של התאים בתרחישים כאלו.

ראו גם

• משוואת הגל האלקטרומגנטי

קישורים חיצוניים

שגיאות פרמטריות בתבנית:ויקישיתוף בשורה
פרמטרי חובה [ שם ] חסרים

מדיה וקבצים בנושא זרם העתקה בוויקישיתוף

• 
  שגיאות פרמטריות בתבנית:בריטניקה
  פרמטרי חובה [ 1 ] חסרים

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

34146633זרם העתקה