התמרת Z

במתמטיקה ובעיבוד אותות, התמרת Z היא התמרה הממירה אות בדיד בתחום הזמן, שהוא סדרה של מספרים ממשיים או מרוכבים, לייצוג מרוכב במרחב התדר. זוהי למעשה ההתמרה המקבילה להתמרת לפלס הפועלת על אותות רציפים. היא מהווה הכללה של פיתוח לטורי פורייה המרוכבים לכל המישור המרוכב ולא רק למעגל היחידה. ישנם שימושים רבים להתמרה זו במערכות בקרה ומערכות משוב.

הגדרה

התמרת Z, בדומה להתמרות אינטגרליות אחרות, מחולקת לשתי התמרות – חד־צדדית ודו־צדדית.

התמרת Z דו־צדדית

התמרת Z דו־צדדית של אות בזמן בדיד $x[n]$ היא הפונקציה $X(z)$ המוגדרת כך:

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$

כאשר $n$ מספר שלם ו־$z$ מספר מרוכב.

התמרת Z חד־צדדית

באופן אלטרנטיבי, במקרים בהם $x[n]$ מוגדר עבור $n$ אי־שלילי, ניתן להשתמש בהתמרת Z החד־צדדית:

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}$

בעיבוד אותות, הגדרת ההתמרה החד-צדדית משמשת במקרים בהם האות הוא סיבתי.

דוגמה חשובה להתמרת Z החד־צדדית היא פונקציה יוצרת הסתברות, כאשר $x[n]$ היא ההסתברות שמשתנה מקרי בדיד יקבל את הערך $n$ , ו־$X(z)$ נכתבת בדרך-כלל במונחי $s=z^{-1}$ . מאפייניה של התמרת Z שימושיים בהקשר זה של תורת ההסתברות.

ההתמרה ההפוכה

התמרת Z ההפוכה היא:

$x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz$

כאשר $C$ קונטור סגור המקיף את ראשית הצירים שכל השטח הכלוא בו נמצא בתחום ההתכנסות של ההתמרה. האיטגרל מבוצע בכיוון הפוך לכיוון השעון. על הקונטור $C$ להכיל את כל הקטבים של ההתמרה $X(z)$ .

מקרה מיוחד מתקבל כאשר הקונטור הוא מעגל היחידה (בו ניתן להשתמש רק כאשר תחום ההתכנסות כולל את מעגל היחידה). במקרה זה, התמרת Z ההפוכה מצטמצמת לכדי התמרת פורייה ההפוכה לאותות בדידים:

$x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega$

תחום ההתכנסות

תחום ההתכנסות (Region of Convergence; ROC) של ההתמרה הוא קבוצת הנקודות במישור המרוכב בהן ההתמרה מתכנסת:

$ROC=\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}$

דוגמה 1

תחום ההתכנסות של האות שבדוגמה 1 מסומן בכחול. מעגל היחידה מסומן בקו אפור מקווקו, והמעגל $|z|=0.5$ משורטט בקו שחור מקווקו. תחום ההתכנסות של האות שבדוגמה 2 הוא התחום הלבן

נתבונן למשל באות $x[n]=0.5^{n}$ . ההתמרה הדו־צדדית שלו אינה מתכנסת באף נקודה, מאחר שהאות מתבדר כאשר $n\to -\infty$ . לעומת זאת, ההתמרה החד־צדדית שלו כן מתכנסת באזור מסוים. נבחן זאת:

$\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }0.5^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}$

השוויון האחרון נגזר מסכומו של טור גאומטרי, כאשר זה האחרון מתכנס רק כאשר $|0.5z^{-1}|<1$ , או בניסוח חלופי, כאשר $|z|>0.5$ . לכן, תחום ההתכנסות של ההתמרה הוא כל המישור המרוכב, פרט לעיגול שמרכזו בראשית ורדיוסו 0.5.

דוגמה 2

כעת נבחן את האות $\ x[n]=-(0.5)^{n}u[-n-1]\$ (כאשר $\ u$ היא פונקציית מדרגה). חישוב ההתמרה:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}0.5^{n}z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{-n}\$

$=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}=-{\frac {0.5^{-1}z}{1-0.5^{-1}z}}={\frac {z}{z-0.5}}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}\$

שוב, הטור הגאומטרי מתכנס (והשוויון שלעיל מתקיים) רק כאשר $\ |2z|<1$ או כאשר $\ |z|<0.5$. כלומר, תחום ההתכנסות במקרה זה הוא עיגול שמרכזו בראשית ורדיוסו 0.5 (זהו למעשה התחום המשלים של ההתמרה הקודמת).

דוגמה זו באה להדגיש כי אותות שונים עשויים להיות בעלי התמרות זהות, אך בעלי תחומי התכנסות שונים. ההתמרה לבדה אינה מספיקה אם כן, ויש צורך בידיעת תחום ההתכנסות גם כן.

מסקנה

שתי הדוגמאות ממחישות כי ההתמרה $\ X(z)$ של האות $\ x[n]$ היא ייחודית רק כאשר היא מלווה בתחום ההתכנסות המתאים. ציור מפת הקטבים והאפסים של שתי הדוגמאות עשוי להראות כי תחומי ההתכנסות בשני המקרים אינם כוללים את הקוטב של ההתמרה שנמצא ב-$\ z=0.5$. התכונה נכונה באופן כללי להתמרות בעלות מספר קטבים: תחום ההתכנסות לעולם לא יכיל בתוכו את קטבי ההתמרה.

יציבותה של מערכת יכולה להיקבע עם ידיעת תחום ההתכנסות לבדו. אם תחום ההתכנסות כולל את מעגל היחידה, אז המערכת יציבה. בדוגמאות שלעיל, הדוגמה הראשונה (בהתמרה החד-צדדית) עשויה לייצג מערכת יציבה, מאחר שתחום ההתכנסות ($\ |z|>0.5$) כולל את מעגל היחידה.

מאפייני ההתמרה

מאפייני התמרת Z

	מרחב הזמן	מרחב z	תחום ההתכנסות
סימון	$x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}$	$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}$	ROC:‏ $r_{2}<|z|<r_{1}$
לינאריות	$a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]$	$a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)$	לפחות החיתוך של 1 ו־ROC2
דיליי בזמן	$x[n-k]\$	$z^{-k}X(z)\$	ROC, מלבד $z=0\$ אם $k>0\,$ ו-$z=\infty$ אם $k<0\$
הזזה בזמן	$x[n+k]\$	$z^{k}(X(z)-x(0)-z^{-1}x(1)...-z^{1-k}x(k-1))\$	ROC, מלבד $z=0\$ אם $k>0\,$ ו-$z=\infty$ אם $k<0\$
כיווץ/הרחבה במרחב z	$a^{n}x[n]\$	$X(a^{-1}z)\$	$|a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}\$
היפוך בזמן	$x[-n]\$	$X(z^{-1})\$	${\frac {1}{r_{1}}}<|z|<{\frac {1}{r_{2}}}\$
צמוד מרוכב	$x^{*}[n]\$	$X^{*}(z^{*})\$	ROC
החלק הממשי	$\operatorname {Re} \{x[n]\}\$	${\frac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]$	ROC
החלק המדומה	$\operatorname {Im} \{x[n]\}\$	${\frac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]$	ROC
גזירה	$nx[n]\$	$-z{\frac {dX(z)}{dz}}$	ROC
קונוולוציה	$x_{1}[n]*x_{2}[n]\$	$X_{1}(z)X_{2}(z)\$	לפחות החיתוך של ROC1 ו-ROC2
סכימה	$\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]\$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)$	לפחות החיתוך של X1(z) ו-$|z|>1$
הכפלה בזמן	$x_{1}[n]x_{2}[n]\$	${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\frac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v\$	לפחות $r_{1l}r_{2l}<|z|<r_{1u}r_{2u}\$
שוויון פרסבל	$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\$	${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\frac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v\$

• משפט הערך ההתחלתי

$x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z)$ , אם $x[n]$ סיבתי

• משפט הערך הסופי

$x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(1-z^{-1})X(z)$ , רק אם הקטבים של $(1-z^{-1})X(z)$ נמצאים בתוך מעגל היחידה

טבלת התמרות נפוצות

כאן:

• $u[n]={\begin{cases}1&:n\geq 0\\0&:n<0\end{cases}}$
• $\delta [n]={\begin{cases}1&:n=0\\0&:n\neq 0\end{cases}}$

	אות, $x[n]$	התמרה, $X(z)$	תחום התכנסות
1	$\delta [n]\,$	$1\,$	${\mbox{all }}z\,$
2	$\delta [n-n_{0}]\,$	$z^{-n_{0}}\,$	$z\neq 0\,$
3	$u[n]\,$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$|z|>1\,$
4	$-u[-n-1]\,$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$|z|<1\,$
5	$nu[n]\,$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$|z|>1\,$
6	$-nu[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$|z|<1\,$
7	$n^{2}u[n]\,$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$|z|>1\,$
8	$-n^{2}u[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$|z|<1\,$
9	$n^{3}u[n]\,$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$|z|>1\,$
10	$-n^{3}u[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$|z|<1\,$
11	$a^{n}u[n]\,$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|>|a|\,$
12	$-a^{n}u[-n-1]\,$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|<|a|\,$
13	$na^{n}u[n]\,$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|>|a|\,$
14	$-na^{n}u[-n-1]\,$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|<|a|\,$
15	$n^{2}a^{n}u[n]\,$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$|z|>|a|\,$
16	$-n^{2}a^{n}u[-n-1]\,$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$|z|<|a|\,$
17	$\cos(\omega _{0}n)u[n]\,$	${\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1\,$
18	$\sin(\omega _{0}n)u[n]\,$	${\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1\,$
19	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]\,$	${\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|\,$
20	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]\,$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|\,$

התמרת Z והתמרות לפלס ופורייה

התמרת Z הדו-צדדית היא למעשה התמרת לפלס הדו-צדדית של דגימה אידאלית של פונקציה:

$x_{s}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\$

כאשר $\ x_{s}(t)$ היא פונקציה בזמן רציף הדוגמת את האות $\ x(t)$, האות $\ x[n]=x(nT)$ הוא הדגימה ה-n-ית, ו-T הוא מחזור הדגימה. ההתמרות זהות ביחס להחלפה $\ z=e^{sT}$.

באופן דומה, התמרת Z החד-צדדית היא למעשה התמרת לפלס (החד-צדדית) של דגימה אידאלית של פונקציה.

יתר על כן, התמרת Z היא הכללה של התמרת פורייה בזמן בדיד (DTFT). ניתן לעבור בין התמרת Z להתמרת פורייה על ידי ההחלפה $\ z=e^{jw}$, או במלים אחרות, לחשב את התמרת Z על מעגל היחידה. על מנת למצוא את תגובת התדר של המערכת, יש לחשב את התמרת Z על מעגל היחידה, כלומר תחום ההתכנסות של ההתמרה חייב להכיל את מעגל היחידה. אם הוא איננו מכיל את מעגל היחידה, אזי התמרת פורייה DTFT של המערכת אינה קיימת.

משוואת הפרשים לינארית במקדמים קבועים

נתבונן במשוואת הפרשים לינארית בעלת מקדמים קבועים:

$\sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}\$

או בצורה שקולה:

$y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}\$

פונקציית תמסורת

ערך מורחב – פונקציית תמסורת

נפעיל את התמרת Z על שני האגפים של המשוואה לעיל, ותוך שימוש בתכונות הלינאריות וההזזה בזמן נקבל:

$Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}\$

נסדר את המשוואה ונקבל את פונקציית התמסורת המתאימה (היחס בין המוצא $\ Y(z)$ לכניסה $\ X(z)$):

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.\$

קטבים ואפסים

מתוך המשפט היסודי של האלגברה, למונה של פונקציית התמסורת יש M שורשים (שהם האפסים של התמסורת H), ולמכנה יש N שורשים (שהם קטבי התמסורת). נבטא את פונקציית התמסורת במונחי הקטבים והאפסים:

$H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}}\$

כאשר $q_{k}\$ הוא האפס ה-k-י ו-$p_{k}\$ הוא הקוטב ה-k-י. הקטבים והאפסים של פונקציית התמסורת הם לרוב מרוכבים, ותמונת המישור המרוכב שעליו הם משורטטים נקראת "מפת הקטבים והאפסים". מציאת השורשים של המכנה, כלומר קטבי התמסורת, עשויה לשמש שלב ביניים בפירוק התמסורת לשברים חלקיים והמרת הפונקציה בחזרה למישור הזמן (באמצעות התמרת Z ההפוכה). ההתמרה ההפוכה של פונקציית התמסורת נקראת תגובת ההלם של המערכת.

מוצא המערכת

אם מערכת בעלת פונקציית תמסורת $\ H(z)$ מעוררת על ידי אות $\ X(z)$, אזי תגובת המערכת תהא $Y(z)=H(z)X(z)\$. את תגובת המערכת בזמן $\ y[n]$ ניתן למצוא מתוך פירוק ההתמרה לשברים חלקיים ומציאת ההתמרה ההפוכה. בפועל, נוח לפרק לשברים חלקיים דווקא את ${\frac {Y(z)}{z}}\$ לפני הכפלה ב-$\ z$ על מנת למצוא ביטוי של $\ Y(z)$ שנוח לחשב עבורו את ההתמרה ההפוכה.

קישורים חיצוניים

• טבלה של התמרות Z ולפלס
• התמרת Z באתר MathWorld