פירוק לשברים חלקיים

באלגברה, פירוק לשברים חלקיים של פונקציה רציונלית מבטא את הפונקציה כסכום של שברים, כאשר:

• המכנה של כל אחד מהשברים הוא חזקה של פולינום אי פריק.
• המונה הוא פולינום ממעלה נמוכה משל המכנה.

חשיבותה של שיטת הפירוק לשברים חלקיים נעוצה בכך שהיא מספקת אלגוריתם מובנה למגוון חישובים המערבים פונקציות רציונליות, חישובים אשר מאפשרים מציאת פונקציות קדומות (ראו אינטגרציה בשברים חלקיים) של פונקציות רציונליות, פיתוחי טיילור ועוד. בלב השיטה עומד משפט קיום מרכזי, המתבסס על אלגוריתם אוקלידס לפולינומים.

הרעיון של השיטה פותח ב-1702 בידי גוטפריד וילהלם לייבניץ, אולם הוא לא הצליח לטפל באופן מלא בבעיית האינטגרציה של השברים עם המכנה הריבועי. יוהאן ברנולי השלים את הפרטים החסרים של האלגוריתם, וסיפק נוסחאות (סבוכות במקצת) לאינטגרלים של שברים עם מכנים שהם חזקות של פולינומים ריבועיים.

עקרונות בסיסיים

אם לפונקציה רציונלית $R(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$ במשתנה בלתי תלוי אחד x יש מכנה שמתפרק לגורמים כ-:

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle g(x)=P(x)\cdot Q(x)}

מעל שדה K (שיכול להיות שדה הממשיים או המרוכבים) ואם בנוסף ל-P ו-Q אין גורם משותף, אז לפי זהות בזו לפולינומים, ששקולה לאלגוריתם אוקלידס המורחב, קיימים פולינומים (C(x ו-(D(x כך ש-הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \deg(C)<\deg(Q)} , $\deg(D)<\deg(P)$ ומתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle CP + DQ = 1} .

לכן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{g(x)} = \frac{CP+DQ}{PQ} = \frac{C}{Q}+\frac{D}{P}}

ולפיכך R ניתנת לכתיבה גם כ-:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{Df(x)}{P} + \frac{Cf(x)}{Q},}

כאשר כל המונים הם פולינומים.

באמצעות אינדוקציה הפונקציה הרציונלית (R(x ניתנת לכתיבה כסכום של שברים עם מכנים שהם חזקות של פולינומים אי-פריקים. אם נרחיב רעיון זה, ניתן לכתוב את:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {G(x)}{F(x)^n}}

כסכום של שברים עם מכנים שהם חזקות של F ומונים ממעלה נמוכה מזו של F, בתוספת אפשרית של פולינום. התוצאה היא המשפט הבא:

משפט: יהיו f ו-g פולינומים שונים מאפס מעל שדה K. נכתוב את g כמכפלה של חזקות של פולינומים זרים ואי פריקים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g=\prod_{i=1}^k p_i^{n_i}.}

אז ישנם פולינומים (יחידים) b ו-a_ij שדרגותיהם מקיימות deg a_ij < deg p_i, כך שמתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{f}{g}=b+\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i}\frac{a_{ij}}{p_i^j}.} .

אם deg f < deg g, אז b = 0.

אם K הוא שדה המספרים המרוכבים, אז מהמשפט היסודי של האלגברה מובטח לנו שכל הגורמים p_i הם גורמים ליניאריים ממעלה אחת, וכל המונים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{ij}} הם קבועים. כאשר K הוא שדה הממשיים, חלק מהגורמים p_i עשויים להיות ריבועיים, כך שבפירוק לשברים חלקיים, חלוקות של פולינומים ליניאריים בדרגות של פולינומים ריבועיים עשויות להופיע גם כן.

דוגמאות

להלן יובאו מספר דוגמאות לפירוק לשברים חלקיים.

גורם ריבועי פריק במכנה

נניח וברצוננו לפרק את השבר

${x+3 \over x^{2}-3x-40}\,$

לשברים חלקיים. באמצעות טרינום קל לראות שהמכנה מתפרק לגורמים הבאים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x-8)(x+5)\,} .

לפיכך, אנו מחפשים סקלרים A ו-B כך ש:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {x+3 \over x^2-3x-40}={x+3 \over (x-8)(x+5)}={A \over x-8}+{B \over x+5}} .

דרך אחת למצוא את A ו-B היא על ידי "העלמת השברים", כלומר, הכפלת שני הצדדים במכנה המשותף (x − 8)(x + 5). זה מביא אותנו לביטוי הבא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x+3=A(x+5)+B(x-8)\,} .

נאסוף באגף הימני של המשוואה את אשר מוכפל ב-x ואת אשר לא.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x+3=(A+B)x+(5A-8B)\,} .

מכיוון שיש שוויון בין שני אגפי המשוואה, ניתן להשוות את המקדמים של הביטויים הדומים.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix} A & + & B & = & 1 \\ 5A & - & 8B & = & 3 \end{matrix} }

הפתרון לביטויים אלו הוא A = 11/13, B = 2/13. לפיכך, מתקבל הפירוק הבא לשבר זה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {x+3 \over x^2-3x-40}={11/13 \over x-8}+{2/13 \over x+5}} .

גורם ריבועי בלתי פריק במכנה

על מנת לפרק את השבר

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {10x^2+12x+20 \over x^3-8}}

לשברים חלקיים, ראשית נשים לב כי

$x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4)\,$.

ניתן לראות כי הביטוי x² + 2x + 4 איננו פריק באמצעות מספרים ממשיים מכיוון שהדיסקרימיננטה של הביטוי היא שלילית. לכן, אנו מחפשים סקלרים A, B, C כך ש:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {10x^2+12x+20 \over x^3-8}={10x^2+12x+20 \over (x-2)(x^2+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^2+2x+4}} .

לאחר "העלמת השברים" אנו מקבלים

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 10x^2+12x+20=A(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x-2)\,} .

ניתן לסדר משוואה זו ולכתוב על פיה שלוש משוואות ליניאריות בעלות שלושת הנעלמים A, B, C, כמו שעשינו בדוגמה הקודמת, אבל מכיוון שפתירת מערכת כזו של משוואות הופכת למעיקה ככל שמספר המשתנים גדל, אנו מנסים שיטה אחרת. הצבה של 2 במקום x במשוואה מעלימה את כל הביטוי הימני השני ואנו מקבלים

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 10\cdot 2^2+12\cdot 2+20=A(2^2+2\cdot 2+4)\,} ,

מכאן 12A = 84, לכן A=7 כך שקיבלנו

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 10x^2+12x+20=7(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x-2)\,} .

נציב 0 במקום x.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 20=7(4)+C(-2)\,} ,

מכאן C=4. קיבלנו

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 10x^2+12x+20=7(x^2+2x+4)+(Bx+4)(x-2)\,} .

נציב 1 במקום x.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 10+12+20=7(1+2+4)+(B+4)(1-2)\,} ,

מכאן B=3. אם כך, הפירוק לשברים חלקיים של שבר זה הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {10x^2+12x+20 \over x^3-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^2+2x+4}} .

גורמים החוזרים על עצמם במכנה

עבור שברים מהצורה הזו

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {P(x) \over (x+2)(x+3)^5}}

(כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} יכול להיות כל פולינום שהוא ממעלה נמוכה דיה), הפירוק לשברים חלקיים נעשה באופן הבא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {A \over x+2}+{B \over x+3}+{C \over (x+3)^2}+{D \over (x+3)^3}+{E \over (x+3)^4}+{F \over (x+3)^5}} .

דפוס זה של פירוק נכון גם עבור כל גורם ממעלה ראשונה אחר ומספר השברים הנ"ל תלוי במספר החזרות של הגורם במכנה.

לדוגמה, ניקח את השבר הבא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {10x^2-63x+29 \over x^3-11x^2+40x-48}} .

המכנה מתפרק באופן הבא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^3-11x^2+40x-48=(x-3)(x-4)^2\,} .

הגורם ממעלה ראשונה (x − 4) חוזר על עצמו במכנה. לפיכך, הפירוק לשברים חלקיים נעשה בצורה הבאה:

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {10x^{2}-63x+29 \over x^{3}-11x^{2}+40x-48}={10x^{2}-63x+29 \over (x-3)(x-4)^{2}}={A \over x-3}+{B \over x-4}+{C \over (x-4)^{2}}} .

מכאן פותרים כמו בדוגמאות לעיל.

עבור שברים מהצורה הזו

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {P(x) \over (x+2)(x^2+1)^5}}

בעלי גורם ריבועי בלתי פריק במכנה (כאשר שוב, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} יכול להיות כל פולינום שהוא ממעלה נמוכה דיה), הפירוק לשברים חלקיים נעשה באופן הבא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {A \over x+2}+{Bx+C \over x^2+1}+{Dx+E \over (x^2+1)^2}+{Fx+G \over (x^2+1)^3}+{Hx+I \over (x^2+1)^4}+{Jx+K \over (x^2+1)^5}} .

דפוס זה של פירוק נכון גם עבור כל גורם ריבועי בלתי פריק אחר ומספר השברים הנ"ל תלוי במספר החזרות של הגורם במכנה.

פירוק השבר באמצעות משפט השאריות

באופן כללי יותר, בהינתן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {P_{n-1}(z) \over Q_n(z)}} והקטבים של הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_1..\lambda_n} . נסמן ב-$q$ את הריבוי של כל קוטב ואז עבור ההצגה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i=1}^n {r_i \over (z-\lambda_i)^q}}

המקדמים נתונים על ידי הנוסחה לחישוב שארית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_i = \ Res(z_i,\lambda_i) = \lim _{z\to \lambda_i}{1 \over (q-1)!}{d^{q-1} \over dz^{q-1}}(z-\lambda_i)^q{P_{n-1}(z) \over Q_n(z)}}

קישורים חיצוניים

• מחשבון לפירוק לשברים חלקיים, באתר Quick math
• פירוק לשברים חלקיים, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

27181219פירוק לשברים חלקיים