הורדה והעלאה של אינדקסים

בגאומטריה דיפרנציאלית, "הורדה והעלאה של אינדקסים" היא כינוי עממי לפעולה מעל יריעה רימנית (כלומר: יריעה עם מטריקה רימנית) שבה מזהים בכל נקודה את המרחב המשיק T עם המרחב הקו-משיק *T באמצעות איזומורפיזם קנוני המוגדר על ידי המטריקה. באמצעות איזומורפיזם זה לכל וקטור אפשר להתאים פונקציונל ולהפך, באופן יחיד. פעולות אלה נקראות גם איזומורפיזמים מוזיקליים.

רקע תאורטי

המרחב הקו-משיק

לשם פשטות הדיון, נעבוד במרחב משיק מסוים T ונסמן את המרחב הקו-משיק לו

$\ T^{*}=\{{\tilde {v}}:T\to \mathbb {R} \ |\ {\tilde {v}}{\mbox{ is linear}}\}$

המרחב הקו-משיק הוא המרחב הדואלי למרחב המשיק ומכיל את כל הפונקציונלים שלינאריים מעליו.

מאחר שכל פונקציונל במרחב זה הוא לינארי, את פעולת הפונקציונל על וקטור ניתן לרשום (כאשר בוחרים בסיס קואורדינטות) כסכום הבא

$\ {\tilde {\omega }}({\vec {v}})=\sum _{\mu }\omega _{\mu }v^{\mu }$

מטריקה רימאנית (הטנזור המטרי)

תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g : T \times T \to \mathbb{R}} המטריקה הרימאנית שלנו. זוהי תבנית בילינארית סימטרית וחיובית בהחלט. אם בוחרים קואורדינטות למרחב המשיק, ואם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \hat{e}_\mu } הוא בסיס למרחב, אזי ההצגה של g לפי רכיבים ("כתיב באינדקסים") היא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g( \hat{e}_\mu , \hat{e}_\nu ) = g_{\mu \nu}}

ואת פעולתה על כל וקטור שהוא ניתן להציג על ידי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g \left( \sum_\mu v^\mu \hat{e}_\mu \ , \ \sum_\nu w^\nu \hat{e}_\nu \right) = \sum_{\mu} \sum_{\nu} g_{\mu \nu} v^\mu w^\nu }

להבא, נשתמש בהסכם הסכימה של איינשטיין (שאומר שאם אינדקס מופיע פעם למטה ופעם למטה באותה מכפלה, אזי סוכמים עליו) ופשוט נרשום

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g \left( v^\mu \hat{e}_\mu , w^\nu \hat{e}_\nu \right) = g_{\mu \nu} v^\mu w^\nu }

הורדה והעלאה של אינדקסים

"הורדת אינדקסים"

לכל וקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \vec{v} \in T} אפשר להתאים פונקציונל $\ {\tilde {v}}\in T^{*}$ באופן קנוני באמצעות המטריקה. התאמה זו היא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tilde{v} = g( \vec{v} , \ ) : T \to \mathbb{R}}

שמתאימה לכל וקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \vec{w} \in T} את המספר

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tilde{v} ( \vec{w} ) = g( \vec{v} , \vec{w} ) \in \mathbb{R}}

בכתיב אינדקסים

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tilde{v} ( \vec{w} ) = g \left( v^\mu \hat{e}_\mu , w^\nu \hat{e}_\nu \right) = g_{\mu \nu} v^\mu w^\nu }

ומאחר שאת פעולת פונקציונל על וקטור ניתן לרשום תמיד כ

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tilde{ \omega } ( \vec{w}) = \omega_\mu w^\mu}

ולקבל ש

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tilde{v} (\vec{w}) = g \left( v^\mu \hat{e}_\mu , w^\nu \hat{e}_\nu \right) = g_{\mu \nu} v^\mu w^\nu = w^\mu v_\nu }

כלומר

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ ( \tilde{v} )_\nu = v_{\nu} = g_{\mu \nu} v^\mu }

לכן, הפעולה בה לכל וקטור מותאם פונקציונל נקראת "הורדת אינדקסים". נשים לב שפעולה זו היא חד-חד-ערכית, שכן g היא מטריצה לא מנוונת ולכן הפיכה. פעולה זו היא גם על, לפי משפטי האיזומורפיזם מאלגברה לינארית.

"העלאת אינדקסים"

באופן דומה, "העלאת אינדקסים" היא הפעולה של התאמה לכל פונקציונל ב-*T וקטור ב-T.

ראשית, נשים לב שההתאמה בסעיף הקודם היא איזומורפיזם $\ T\cong T^{*}$, שכן g היא תבנית בילינארית (מטריצה) לא מנוונת והמרחבים הם שווי ממד. כעת, גם על המרחב הקו-משיק אפשר להגדיר מטריקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ h : T^* \times T^* \to \mathbb{R}} על ידי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ h ( \tilde{v} , \tilde{w} ) = g ( \vec{v} , \vec{w} ) }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \vec{v} \in T} הוא הווקטור שעבורו מקבל את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tilde{v}} על ידי "הורדת אינדקסים" (וקטור כזה קיים והוא יחיד).

כעת, באמצעות המטריקה החדשה אפשר להסתכל על המרחב המשיק כמרחב הדואלי למרחב המשיק, כלומר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T = (T^*)^*} ולהגדיר את ההתאמה באופן דומה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \vec{v} = h( \tilde{v} , \ )}

כעת, מאחר ש

$\ h({\tilde {v}},{\tilde {w}})=g({\vec {v}},{\vec {w}})$

(או בכתיב אינדקסים)

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ h^{\mu \nu} v_\mu w_\nu = g_{\mu \nu} v^\nu w^\mu}

וכפי שהגדרנו קודם

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ v_\mu = g_{\mu \nu} v^\nu}

אזי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ h^{\mu \nu} w_\nu = w^\mu}

כעת, נדרוש ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \vec{v} = h ( \tilde{v} , \ ) = h ( g( \vec{v} , \ ) \ , \ )} , כלומר: הווקטור שמתאים לפונקציונל מסוים הוא הווקטור שהפונקציונל התאים לו. כלומר: אנו רוצים שהתאמה הווקטור לפונקציונל תהיה ההתאמה ההפכית לזאת המתאימה פונקציונל לווקטור.
בכתיב אינדקסים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ v^\mu = h^{\mu \nu} v_\nu = h^{\mu \nu} g_{\nu \rho} v^\rho }

והדרישה שיוחזר אותו וקטור פירושה היא $\ v^{\mu }=v^{\rho }$, כלומר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ h^{\mu \nu} g_{\nu \rho} = \delta^{\mu}_{\rho}}

שבהצגה ככפל מטריצות אומר ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ h \cdot g = I_{d}} . כלומר: המטריצה h היא המטריצה ההפכית של g: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ h = g^{-1}} .

מקובל לסמן את רכיבי המטריצה ההפכית באותה אות של המטריקה עצמה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ h^{\mu \nu} = (g^{-1})^{\mu \nu} = g^{\mu \nu} }

ואז

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g^{\mu \nu} g_{\nu \rho} = \delta^{\mu}_{\rho}}

לכן, מקבלים שהעלאת אינדקסים בהצגת קואורדינטות נתונה על ידי

$\ v^{\mu }=g^{\mu \nu }v_{\nu }$

דוגמה - הגרדיאנט

במרחב עם מטריקה, אפשר להגדיר את הגרדיאנט כוקטור על ידי "הורדת אינדקסים", כלומר, על ידי התאמת וקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{\nabla} f} ל df כך ש

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ df( \vec{v} ) = g( \vec{v} , \vec{\nabla} f) }

כאשר g היא המטריקה: תבנית בילינארית סימטרית וחיובית בהחלט.

בקואורדינטות אפשר לכתוב את וקטור הגרדיאנט כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \vec{\nabla} f = \sum_{\nu} g^{\mu \nu} (df)_{\nu} \partial_\mu}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g^{\mu \nu} } הוא האיבר בשורה ה-$\mu$ והעמודה ה--הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} של המטריקה ההפכית (כלומר: המטריצה ההפכית למטריקה, g^-1). כלומר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \vec{\nabla} f = g^{-1} df} .

ראו גם

• גאומטריה דיפרנציאלית
• חשבון טנזורים
• קואורדינטות
• מטריקה רימנית