הלמה של פאטו

במתמטיקה, הלמה של פאטו מקשרת באמצעות אי-שוויון בין הגבול התחתון של סדרת האינטגרלים (על פי לבג) של סדרת פונקציות ובין האינטגרל של הגבול התחתון של אותה סדרת פונקציות. בכך היא מאפשרת לקבל מידע מתכונות ההתכנסות של סדרת הפונקציות על תכונות ההתכנסות של סדרת האינטגרלים שלהן. הלמה נקראת על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר פאטו.

שימוש מיידי של הלמה הוא בהוכחת משפט ההתכנסות הנשלטת.

ניסוח פורמלי

אם $\ f_{1},f_{2},\dots$ היא סדרה של פונקציות אי שליליות ומדידות, אז מתקיים אי השוויון הבא:

$\int \liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}$

הוכחה

הוכחת הלמה מסתמכת על משפט ההתכנסות המונוטונית, העוסק בסדרה עולה של פונקציות מדידות ואי שליליות. לצורך ההוכחה מגדירים סדרה חדשה של פונקציות, $\ g_{1},g_{2},\dots$ באמצעות הסדרה המקורית, כך שהסדרה החדשה עונה על תנאי משפט ההתכנסות המונוטונית.

אם כן, מגדירים $\ g_{n}=\inf \left\{f_{n},f_{n+1},f_{n+2},\dots \right\}$.

מיד ברור כי זוהי סדרה עולה של פונקציות (שכן האינפימום נלקח על קבוצה הולכת וקטנה). מכיוון שזו סדרה עולה, קיים לה גבול (אם מתירים לפונקציות לקבל גם אינסוף בתור ערך). כמו כן מתקיימות שתי התכונות הבאות:

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g_n\le f_n} (ולכן גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \int g_n\le \int f_n} )
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lim_{n\to\infty}g_n=\liminf_{n\to\infty}f_n}

באמצעות שתי תכונות אלו ומשפט ההתכנסות המונוטונית מקבלים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \int \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n=\int \lim_{n\to\infty}g_n=\lim_{n\to\infty}\int g_n=\liminf_{n\to\infty}\int g_n\le\liminf_{n\to\infty}\int f_n}

למת פאטו ההפוכה

למת פאטו ההפוכה קובעת כי אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {f_n}} סדרת פונקציות מדידות וחסומות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f_n| \le g} על ידי פונקציה אינטגרבילית, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \limsup _{n \rightarrow \infty}{\int{f_n}} \le \int {\limsup_{n \rightarrow \infty}{f_n} }} .

כדי להוכיח זאת, יש להביט בסדרת הפונקציות האי שליליות $h_{n}=g-f_{n}$, ולהפעיל את למת פאטו הרגילה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int{\liminf_{n \rightarrow \infty} {(g-f_n)} } \le \liminf_{n \rightarrow \infty} \int{(g-f_n)}}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int{\liminf_{n \rightarrow \infty} {g} } + \int{\liminf_{n \rightarrow \infty} {(-f_n)} } \le \liminf_{n \rightarrow \infty} \int{g} + \liminf_{n \rightarrow \infty} \int{(-f_n)}} (כי האינטגרל של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} סופי)

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int{g} + \int{\liminf_{n \rightarrow \infty} {(-f_n)} } \le \int{g} + \liminf_{n \rightarrow \infty} \int{(-f_n)}} (כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} אינטגרבילית)

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle - \int{\limsup_{n \rightarrow \infty} {f_n} } \le - \limsup_{n \rightarrow \infty} \int{f_n}}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \limsup_{n \rightarrow \infty} \int{f_n} \le \int{\limsup_{n \rightarrow \infty} {f_n} } }

כדרוש.

דוגמאות

• בלמת פאטו לא תמיד מתקיים שוויון, ואפילו אפשר להגיע למצב של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 < \infty} . למשל - $f_{n}=n{\chi }_{[n,n+1]}$(כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi} הפונקציה המציינת).

• בעזרת למת פאטו ולמת פאטו ההפוכה אפשר להוכיח את "ההפך" למשפט ההתכנסות המונוטונית - אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_n} סדרה יורדת של פונקציות אי שליליות אינטגרביליות, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int {\lim_{n \rightarrow \infty}{f_n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}{\int{f_n}}} .

אכן, אם נסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f=\lim_{n \rightarrow \infty}{f_n}} , לפי למת פאטו - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int{f}=\int \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \leq \liminf_{n\rightarrow\infty} \int {f_n} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\int{f_n}}} ; לפי למת פאטו ההפוכה - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \limsup _{n \rightarrow \infty}{\int{f_n}} \le \int {\limsup_{n \rightarrow \infty}{f_n} } = \int{f}} , וביחד:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \limsup_{n \rightarrow \infty}{\int {f_n}} \le \int{f} \le \liminf_{n \rightarrow \infty}{\int{f_n}}}

כדרוש.

ראו גם

• משפט ההתכנסות המונוטונית
• משפט ההתכנסות הנשלטת
• משפט ההתכנסות של ויטלי

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

32789936הלמה של פאטו