משפט ההתכנסות המונוטונית

בתורת המידה, משפט ההתכנסות המונוטונית הוא משפט על האינטגרל של סדרה עולה של פונקציות מדידות ואי-שליליות. לפי המשפט, במקרה זה האינטגרל של הגבול שווה לגבול האינטגרלים.

זהו משפט יסודי וחשוב בתורת המידה, ויש לו השלכות רבות, כדוגמת הלמה של פאטו ומשפט ההתכנסות הנשלטת.

ניסוח

יהי $\left(X,{\mathcal {F}},\mu \right)$ מרחב מידה. תהי $\ f_{1},f_{2},\dots$ סדרת פונקציות ממשיות או מרוכבות מדידות, המקיימות $\left|f_{n}\right|\leq \left|f_{n+1}\right|$ לכל $n=1,2,\dots$ כמעט בכל מקום. נכתוב $f=\lim _{n\to \infty }f_{n}$ (נשים לב שממונוטוניות גבול זה קיים, גם אם אולי אינסופי). אז מתקיים $\ \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}d\mu =\int _{X}fd\mu$.

הוכחה

ראשית יש לשים לב כי הגבול $f(x):=\lim _{n\rightarrow \infty }{{f}_{n}(x)}$ קיים בכל נקודה (סופי או אינסופי), כי הסדרה מונוטונית.

הכיוון $\geq$ ברור, כי $f\geq f_{n}$ לכל $n$, ולכן ממונוטוניות האינטגרל $\int {f}\geq \int {{f}_{n}}$, ולכן גם $\int {\lim _{n\rightarrow \infty }{{f}_{n}}}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }{\int {{f}_{n}}}$.

לצורך הכיוון $\leq$, מספיק להראות (לפי הגדרת אינטגרל לבג) כי לכל פונקציה פשוטה $\phi \leq f$ ולכל $0<a<1$ מתקיים $\int {a\phi }\leq \lim _{n\rightarrow \infty }{\int {{f}_{n}}}$ (כי אז נשאיף $a\rightarrow 1^{-}$).

יהי ${A}_{n}={({f}_{n}-a\phi )}^{-1}([0,\infty ])$, קבוצה מדידה. גם $A_{n}\subseteq A_{n+1}$ ממונוטוניות, ו-$\bigcup _{n=1}^{\infty }{{A}_{n}}=X$ - אכן, אם $x\in X,\phi (x)=0$ אז $x\in A_{1}$; אחרת $f(x)>a\phi (x)$ ומהשאיפה $f_{n}\rightarrow f$ נובע שקיים $n$ כך ש-$f_{n}(x)>a\phi (x)$, כלומר $x\in A_{n}$.

לכן, $\int _{X}{\phi }=\lim _{n\rightarrow \infty }{\int _{{A}_{n}}{\phi }}$. כעת, $\int _{X}{{f}_{n}}\geq \int _{{A}_{n}}{{f}_{n}}\geq \int _{{A}_{n}}{a\phi }$ וביחד מקבלים $\lim _{n\rightarrow \infty }{\int _{X}{{f}_{n}}}\geq \int _{X}{a\phi }$ כדרוש.

ראו גם

• הלמה של פאטו
• משפט ההתכנסות הנשלטת
• משפט ההתכנסות של ויטלי