משפט ההתכנסות הנשלטת

בתורת המידה, משפט ההתכנסות הנשלטת של אנרי לבג הוא משפט על האינטגרל של הגבול של סדרת פונקציות מדידות, המתכנסת נקודתית. לפי המשפט, אם כל הפונקציות בסדרה חסומות בערכן המוחלט (כלומר, "נשלטות") על ידי פונקציה אינטגרבילית, אז האינטגרל של הגבול שווה לגבול של האינטגרלים. בפרט, האינטגרלים של פונקציות הסדרה קיימים וסופיים.

המשפט מנוסח עבור פונקציות שהן אינטגרביליות לבג, ובפרט תקף גם עבור פונקציות אינטגרביליות רימן.

משפט זה הוא מקרה פרטי של משפט ההתכנסות של ויטלי.

נוסח פורמלי

יהי $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ מרחב מידה. תהי $f_{1},f_{2},\ldots$ סדרת פונקציות ממשיות או מרוכבות מדידות, אשר מתכנסת כמעט בכל מקום לפונקציה גבולית $\lim _{k\to \infty }f_{k}=f$ . אם קיימת פונקציה אינטגרבילית לבג $g$ שהאינטגרל שלה סופי ועבורה $|f_{k}|\leq g$ לכל $k=1,2,\ldots$ כמעט בכל מקום, אזי כל הפונקציות הסדרה והגבול הנקודתי הן אינטגרביליות עם אינטגרל סופי, ומתקיים $\lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}d\mu =\int _{X}fd\mu$ .

הוכחה

הוכחת המשפט מתבססת על הלמה של פאטו, המטפלת בצורה כללית יותר במקרה הפרטי שבו כל הפונקציות בסדרה הן אי-שליליות. ניתן יהיה להשתמש בלמה בזכות העובדה כי $g$ חוסמת את כל אברי הסדרה.

כיוון ש-$|f_{k}|\leq g$ אז $g+f_{k}$ היא פונקציה אי-שלילית כמעט בכל מקום, ניתן להשתמש עליה בלמה של פאטו ולקבל:

${\int _{X}gd\mu +\int _{X}fd\mu =\int _{X}(g+f)d\mu =\int _{X}\lim _{k\to \infty }(g+f_{k})d\mu \leq \liminf _{k\to \infty }\int _{X}(g+f_{k})d\mu =\int _{X}gd\mu +\liminf _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}d\mu }$

כאשר $\liminf$ מסמן את הגבול התחתון של הסדרה.

לאחר חיסור $\int _{X}gd\mu$ משני האגפים (דבר שעבורו נדרש שהאינטגרל יהיה סופי) מקבלים:

$\int _{X}fd\mu \leq \liminf _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}d\mu$

ניתן לעשות את אותו הדבר גם עם הפונקציה האי-שלילית $g-f_{k}$, ולקבל:

$\int _{X}-fd\mu \leq \liminf _{k\to \infty }\int _{X}-f_{k}d\mu =-\limsup _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}d\mu$

כאשר $\limsup$ הוא הגבול העליון. כלומר:

$\int _{X}fd\mu \geq \limsup _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}d\mu$

ומהשוואת שתי התוצאות קיבלנו:

$\limsup _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}d\mu \leq \int _{X}fd\mu \leq \liminf _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}d\mu$

מכיוון שאגף שמאל תמיד לא קטן מאגף ימין, כל אי-השוויונות הופכים לשוויונות, ולכן קיבלנו את התוצאה המבוקשת.

ראו גם

• הלמה של פאטו
• משפט ההתכנסות המונוטונית
• משפט ההתכנסות של ויטלי