גאומטריה סינתטית
גאומטריה סינתטית היא ענף של הגאומטריה המתבסס על אקסיומות, משפטים וטיעונים לוגיים כדי להתוות את התפתחות הגאומטריה, זאת בניגוד לגאומטריה אנליטית וגאומטריה אלגברית אשר עושות שימוש באנליזה ואלגברה כדי לבצע חישובים גאומטריים ולפתור בעיות.
סינתזה לוגית
התהליך של סינתזה לוגית מתחיל מנקודת התחלה שרירותית אך שחייבת להיות מוגדרת.
- רעיונות פרימיטיביים הם הרעיונות הבסיסיים ביותר. הם כוללים אובייקטים ויחסים ביניהם. בגאומטריה, האובייקטים הם דברים כמו נקודות, קווים ומישורים בעוד שהיחס היסודי הוא זה של חיתוך – האם שני אובייקטים נפגשים או לא.
- אקסיומות הם טיעונים על הרעינות הפרימיטיביים הללו, לדוגמה כל שתי נקודות ניתנות לקישור באמצעות קו ישר אחד בלבד (ניסוח חלופי: דרך כל שתי נקודות עובר רק קו ישר אחד).
עבור סט התחלתי של אקסיומות, סינתזה מתבצעת כתהליך הדרגתי וזהיר של בנייה לוגית. כאשר תוצאה משמעותית מוכחת ריגורוזית, היא זוכה לשם משפט.
כל סט התחלתי של אקסיומות מוביל למערכת לוגית אחרת, ובמקרה של גאומטריה, סטים שונים של אקסיומות מובילים לגאומטריות שונות.
היסטוריה
הגאומטריה של אוקלידס הייתה סינתטית, אף על פי שלא כל ספריו עסקו בגאומטריה טהורה.
החקר האקסיומטי האינטימי של הגאומטריה האוקלידית במאה ה-19 הוביל לגילוי של גאומטריות לא-אוקלידיות, המתבססות על אקסיומות אחרות. גאוס, בויאי ולובצ'בסקי גילו במקביל את הגאומטריה ההיפרבולית, בה אקסיומת המקבילים האוקלידית מוחלפת באחרת. פואנקרה גילה את המודל הגאומטרי הפיזיקלי הראשון של הגאומטריה ההיפרבולית, הידוע כמודל הדיסק של פואנקרה.
תור הזהב של הגאומטריה הסינתטית היה במאה ה-19, כאשר שיטות אנליטיות מורכבות שהתבססו על קואורדינטות וחשבון אינפיניטסימלי נזנחו כמעט לחלוטין בידי גאומטרנים כמו יאקוב שטיינר, זאת לטובת התפתחות סינתטית טהורה של גאומטריה פרויקטיבית. גאומטריה פרויקטיבית היא למעשה הביטוי הפשוט והאלגנטי ביותר של כל מערכת גאומטרית אפשרית.
דוגמה אחרת היא התפתחותה של שיטת האינוורסיה באמצעות לודוויג עמנואל מגנוס, אשר היא סינתטית ברוח שלה. הפעולה של היפוך מבטאת אנליזה של המישור.
מאידך, התאוריה של תורת היחסות הפרטית התפתחה במקורה באופן אנליטי; דרך האלגברה הלינארית של טרנספורמציות לורנץ, ורק ב-1912 פיתחו גילברט ניוטון לואיס ואדווין בידוול ווילסון גישה סינתטית לתאוריה, אשר נתנה אמון רב יותר ביסודות התאוריה של המרחב-זמן.
גאומטריה חישובית סינתטית
בצמידות לגאומטריה חישובית, ענף הגאומטריה סינתטית חישובית נוצר, ויש לו קשרים, למשל, עם תורת המטרואיד. גאומטריה דיפרנציאלית סינתטית היא יישום של תורות הטופוס לביסוס יסודות התאוריה של יריעות חלקות.