מערכת האקסיומות של הילברט

מערכת האקסיומות של הילברט היא מערכת בת 20 אקסיומות שהציע דויד הילברט ב-1899, כבסיס תאורטי לגאומטריה האוקלידית.

האקסיומות, המחליפות את חמש האקסיומות וחמש ההנחות שקבע אוקלידס בספרו "יסודות", פטורות מאי-הדיוקים שנמצאו בהן. הילברט הֶחְֶיָה את המסורת שקבע אוקלידס, ופתח מאה שבה נארגו לתוך יסודות המתמטיקה מערכות פורמליות של אקסיומות כמעט בכל תחום. עם זאת, המערכת של הילברט אינה נטולת חסרונות, וזו של טרסקי עדיפה עליה, בהיותה מנוסחת במסגרת לוגיקה מסדר ראשון.

עבודתו של הילברט מבוססת על עבודתם של אחרים שתרמו לביסוס האקסיומטי של הגאומטריה, ובראשם: מוריץ פש, מריו פיירי, אוסוולד ובלן, אדוארד ורמיל האנטינגטון, גילברט רובינסון והנרי ג'ורג' פורדר.

מערכת האקסיומות

האובייקטים היסודיים

האקסיומות מתייחסות לשלושה סוגי אובייקטים, שאינם מוגדרים:

• "נקודה" – אובייקט שאפשר לראות בו נקודה גאומטרית
• "ישר" – אובייקט שאפשר לראות בו קו ישר
• "מישור" – אובייקט שאפשר לראות בו מישור גאומטרי

וכן לשלושה יחסים שאינם מוגדרים:

• היות-בֵּין (יחס טרינארי בין שלשות של נקודות).
• שייכות (שלושה יחסים בינאריים, שאחד מהם קושר נקודות וישרים, השני – ישרים ומישורים, והשלישי – נקודות ומישורים).
• חפיפה (שלושה יחסים בינאריים, שאחד מהם קושר קטעים, השני – זוויות, והשלישי – משולשים).

לעניין יחס החפיפה, "קטע" מוגדר כאוסף (קבוצת) של הנקודות על קו ישר L, הנמצאות בין זוג נקודות a,b שעל הישר; "זווית" היא שלשה סדורה של נקודות; ו"משולש" הוא שלשה סדורה של נקודות.

רשימת האקסיומות

לשם נוחות הקריאה, נעשה שימוש במושגים נרדפים ל-"הנקודה a שייכת לישר L", כגון "הישר L עובר דרך הנקודה a" או "הישר L כולל את הנקודה a"; וכן לגבי ישרים ומישורים, ונקודות ומישורים.

I. שייכות

I.1. לכל שתי נקודות, קיים ישר העובר דרך שתיהן.

I.2. לכל שתי נקודות שונות, יש לכל היותר ישר אחד העובר דרך שתיהן.

I.3. כל ישר כולל לפחות שתי נקודות, ולכל ישר יש נקודה מחוץ לו.

I.4. לכל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, יש מישור העובר דרך כולן. כל מישור כולל נקודה אחת לפחות.

I.5. לכל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, יש רק מישור אחד העובר דרך כולן.

I.6. אם שתי נקודות a,b שייכות לישר L ולמישור A, אז A כולל כל נקודה של L.

I.7. אם המישורים A,B כוללים נקודה a, אז הם כוללים לפחות עוד נקודה אחת.

I.8. יש לפחות ארבע נקודות שאינן שייכות לאותו מישור.

II. סדר

II.1. אם הנקודה b נמצאת בין הנקודות a,c, אז היא נמצאת גם בין הנקודות c,a, ושלוש הנקודות מונחות על אותו ישר.

II.2. לכל שתי נקודות שונות a,c קיימת נקודה b הנמצאת בין a,c (קבוצה סדורה צפופה).

II.3. לכל שלוש נקודות על אותו ישר, בדיוק אחת מהן נמצאת בין שתי האחרות.

II.4 לכל שלוש נקודות a,b,c שאינן על ישר אחד, ולכל ישר L המוכל במישור הכולל אותן ושאינו עובר דרך אף אחת מן הנקודות, מתקיים כי: אם L כולל נקודה של הקטע ab, אז L כולל גם נקודה של הקטע ac או של הקטע bc (אקסיומת פש).

III. חפיפה

III.1. לכל שתי נקודות a,b ונקודה c על ישר L, יש בדיוק שתי נקודות d,e על L, כך ש-c נמצאת בין d,e, והקטעים ab,‏cd,ce חופפים זה לזה (שווים באורכם) (הקצאת קטע על ישר).^{[דרושה הבהרה]}

III.2. אם ab חופף ל-cd ול-ef, אז cd חופף ל-ef (טרנזיטיביות של חפיפת קטעים).

III.3. נניח שהקטעים ab,bc מונחים על הישר L באופן שהנקודה המשותפת היחידה להם היא b; וכן שהקטעים de,ef מונחים על הישר M באופן שהנקודה המשותפת היחידה להם היא e. אם ab חופף ל-de ו-bc חופף ל-ef, אז ac חופף ל-df (אדיטיביות).

III.4. לכל זווית abc וקרן de, קיימות בדיוק שתי קרניים dx,dy, כך שהזוויות xde,yde חופפות (שוות) ל-abc (הקצאת זווית על קרן).

III.5. אם הקטעים ab,xy חופפים, הקטעים ac,xz חופפים, והזוויות bac,yxz חופפות, אז המשולשים abc,xyz חופפים (חפיפת משולשים לפי "צלע-זווית-צלע").

IV. הקבלה

IV.1 . לכל ישר L ונקודה a שמחוץ לו, ומישור הכולל את a ואת L, קיים לכל היותר ישר אחד במישור הכולל את a ואינו כולל אף נקודה של L (אקסיומת המקבילים).

V. רציפות

V.1 לכל קטע cd וקרן ab, קיים מספר טבעי n ונקודות $\ a_{1},\dots ,a_{n}$ שעל הקרן, כך שהקטעים $\ a_{j}a_{j+1}$ כולם חופפים ל-cd, וכך ש-b נמצאת בין a ו-$\ a_{n}$ (תכונת ארכימדס).

V.2 כל הוספה של נקודות לישר, מפירה (סותרת) לפחות אחת מחמש האקסיומות: I,‏ II,‏ III.1,‏ III.2,‏ V.1 ("שלמות הישרים").

תחולה והערות

מערכת האקסיומות שהוצגה לעיל מתארת את גאומטריית המרחב; דהיינו, הגאומטריה של המרחב האוקלידי התלת-ממדי. אם מסירים את חמש האקסיומות I.4-8 העוסקות במישורים שונים, ומסירים את האזכור למישור מאקסיומה IV.1, מתקבל תיאור אקסיומטי של גאומטריית המישור האוקלידית.

במקור, הילברט כלל אקסיומה נוספת – "לכל ארבע נקודות על ישר, ניתן לבחור את השמות a,b,c,d כך ש-b בין a ו-c, וגם בין a ו-d; וכן c בין a ו-d ובין b ו-d"; אלא ש-E.H.Moore הראה (ב-1902) שניתן להסיק אקסיומה זו כמשפט משאר המערכת.

האקסיומות של הילברט אינן מהוות לוגיקה מסדר ראשון, משום שהאקסיומות בקבוצה V לא ניתנות לתיאור במסגרת של לוגיקה מסדר ראשון. משום כך, חשיבותה העיקרית של המערכת היא מתודולוגית, בתרומתה לתוכנית הילברט לבסס את כל המתמטיקה על תורת הקבוצות (האקסיומטית).

גאומטריה המניחה את כל האקסיומות של הילברט, למעט אקסיומת המקבילים, נקראת גאומטריה אבסולוטית.

גאומטריה המניחה את אקסיומות השייכות והסדר נקראת גאומטריית הסדר.

לקריאה נוספת

• David Hilbert, The Foundations of Geometry, 1950 (Reprint Edition) (ספרו של הילברט "יסודות הגאומטריה", בתרגום לאנגלית)

קישורים חיצוניים

• מערכת האקסיומות של הילברט, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0