בעיית נתר

בעיית נתר היא מן הבעיות המרכזיות בתורת גלואה. הבעיה הוצעה על ידי אמי נתר בשנות השלושים של המאה העשרים, והיא עדיין לא פתורה באופן כללי.

הבעיה. נתון שדה F, וחבורת תמורות G הפועלת על הקבוצה $\ 1,\dots ,n$. אפשר להרחיב את הפעולה של G לפעולה על ההרחבה הטרנסצנדנטית הטהורה $\ K=F(x_{1},\dots ,x_{n})$, כאשר $\ g\in G$ פועל על המשתנים לפי הפעולה על האינדקסים $\ g(x_{i})=x_{g(i)}$, והפעולה על שדה הבסיס F טריוויאלית. השאלה היא האם שדה השבת $\ K^{G}$ הוא בהכרח הרחבה טרנסצנדנטית טהורה של F. במלים אחרות, האם קיימים $\ f_{1},\dots ,f_{n}\in K$ כך ש- $\ K^{G}=F(f_{1},\dots ,f_{n})$.

לדוגמה, ידוע שהתשובה חיובית כאשר G היא החבורה הסימטרית $\ S_{n}$. אם G היא חבורת התמורות הזוגיות $\ A_{n}$, התשובה חיובית כאשר $\ n\leq 5$, ולא ידועה כאשר $\ n\geq 6$.

ב- 1969 הראה ריצ'רד סוואן (Richard Swan) שהתשובה לבעיית נתר שלילית מעל שדה המספרים הרציונליים, כאשר $\ G=\mathbb {Z} /47\mathbb {Z}$ היא החבורה הציקלית מסדר 47. לחבורה זו יש אוטומורפיזם מסדר 23, וההוכחה מסתמכת על כך שחוג השלמים של השדה הציקלוטומי $\ \mathbb {Q} [\zeta _{23}]$ אינו תחום אידאלים ראשיים. מאוחר יותר, ב- 1974 תיאר הנדריק לנסטרה קריטריון לטרנסצנדנטיות של שדה השבת כאשר G חבורה אבלית, והראה שהתשובה לבעיית נתר שלילית מעל השדה הרציונלי גם עבור $\ G=\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$. את הדוגמה הראשונה לתשובה שלילית מעל שדה סגור אלגברית מצא דייוויד סולטמן ב- 1983 (עבור חבורות מסדר $\ p^{9}$). דוגמא דומה, עם חבורה מסדר $\ p^{6}$, מצא Bogomolov ב-1986.

נתר הציעה את הבעיה בניסיון לפתור בעיה אחרת, בעיית ההיפוך של תורת גלואה, השואלת אלו חבורות יכולות להיות חבורות גלואה של הרחבות של שדה המספרים הרציונליים. אם התשובה לבעיית נתר היא חיובית עבור חבורה מסוימת G מעל שדה F, אז אפשר לממש חבורה זו כחבורת גלואה מעל אותו שדה.