טריאנגולציה (גאומטריה)

במתמטיקה, טריאנגולציה היא חלוקה של משטח למשולשים (הנקראת גם שילוש), או - בהכללה - חלוקה של עצם גאומטרי מממד כלשהו לסימפלקסים. לחלוקות אלה חשיבות מרכזית בתרגום של בעיות מגאומטריה לקומבינטוריקה ובחזרה.

טריאנגולציה של מצולע

כל הטריאנגולציות האפשריות של משושה קמור.

טריאנגולציה של מצולע היא חלוקה של פנימו למשולשים באמצעות אלכסונים. לכל מצולע קיימת טריאנגולציה. נוכיח זאת באינדוקציה על n:

ל-n=3 המצולע הוא משולש ומהווה הטריאנגולציה היחידה של עצמו. נניח שהטענה נכונה לכל מצולע בעל פחות מ-n צלעות ונוכיח כי היא נכונה למצולע עם n צלעות (וכן 3<n). נחפש אלכסון שעובר כולו בתוך המצולע. נבחר קודקוד B של המצולע שנמצא על שפת הקמור שלו. יהיו A ו-C הקודקודים הסמוכים ל-B ‏(AB ו-BC הם צלעות במצולע). אם AC עובר בתוך המצולע הוא האלכסון הרצוי. אחרת, יש קודקודים של המצולע שנמצאים בתוך המשולש ABC. מבין קודקודים אלו נבחר את הקודקוד D שהוא הרחוק ביותר מהישר AC. האלכסון BD חייב לעבור בתוך המצולע. האלכסון שמצאנו מחלק את המצולע לשני מצלועים מסדר נמוך יותר, להם ניתן לבצע טרינגולאציה לפי הנחת האינדוקציה. יחד הם נותנים טריאנגולציה של המצולע הגדול כולו. באינדוקציה דומה ניתן להוכיח שבכל טריאנגולציה יש n-2 משולשים.

כאשר מדובר במצולע קמור מסדר n, מספר הטריאנגולציות האפשריות הוא מספר קטלן ה-n-2.

טריאנגולציה של משטחים

בטריאנגולציה של משטחים משתמשים הן בטופולוגיה והן בגרפיקה ממוחשבת.

משטחים טופולוגיים

בטופולוגיה השימוש המרכזי של טריאנגולציה הוא בשביל להגדיר אינווריאנטים טופולוגיים (כגון הומולוגיה של מרחב טופולוגי ומאפיין אוילר), ומבנים על יריעות (כגון אוריינטציה). בדרך כלל, אנו מחלקים משטחים טופולוגים למשולשים במובן הטופולוגי של המילה, זאת אומרת שהצלעות והמשולשים עצמם עקומים ומכופפים. ידוע שמטריאנגולציה מסוימת של משטח אפשר לעבור לכל טריאנגולציה אחרת של אותו משטח, עם אותן נקודות קצה, באמצעות סדרה של צעדי פכנר (Pachner moves), שבהם עוברים בין שתי הטריאנגולציות השונות של מרובע קמור.

לכל יריעה טופולוגית קומפקטית ממימד 1, 2 או 3 יש טריאנגולציה סופית; לעומת זאת, במימד 4 או יותר יש יריעות טופולוגיות שלא ניתן לבצע להן טריאנגולציה, והחל מממד 5 יש גם יריעות חלקות כאלה. מסיבה זאת, בטופולגיה מודרנית הטריאנגולציה הפכה פחות שימושית ומשמשת בעיקר להמחשת רעיון מסוים ודוגמאות.

טריאנגולציה בגרפיקה ממוחשבת

בגרפיקה ממוחשבת משתמשים בטריאנגולציה לצורך הצגת משטחים. כאן הצלעות והמשולשים בדרך כלל ישרים ומשוריים, ולכן רק מקרבים את המשטח. ככל שהמשולשים קטנים יותר כך הקירוב טוב יותר.

דוגמאות של טריאנגולציות

טריאנגולציה של ספירה

טריאנגולציה של טבעת מביוס

טריאנגולציה של טורוס

ראו גם

• שילוש דלוני

קישורים חיצוניים

• טריאנגולציה, באתר MathWorld (באנגלית)