זהויות מופן
באלגברה וגאומטריה פרויקטיבית, זהויות מופן הן זהויות שיכול לקיים חוג לא אסוציאטיבי: הזהות השמאלית $ \ (x(zx))y=x(z(xy)) $, והזהות הימנית $ \ y((xz)x)=((yx)z)x $. זהויות אלו מופיעות באופן טבעי כשחוקרים את הפרמטריזציה של מישור פרויקטיבי, והן קרובות לזהויות שמקיימת אלגברה אלטרנטיבית. גם לזהות המרכזית $ \ (xy)(zx)=(x(yz))x $ יש תפקיד מסוים. הזהויות קרויות על שם רות מופן (Moufang) (אנ').
את הזהות הימנית והשמאלית אפשר לנסח כטענות על אופרטורי הכפל מימין ומשמאל, כזהויות $ \ r_{x}r_{z}r_{x}=r_{(xz)x} $ ו-$ \ \ell _{x}\ell _{z}\ell _{x}=\ell _{x(zx)} $, בהתאמה. ניסוח זה חושף קשר לאלגברות ז'ורדן, שבהן משחק האופרטור $ \ Q_{x}(y)=xyx $ תפקיד חשוב.
שלוש זהויות מופן מתקיימות בכל אלגברה אלטרנטיבית. מאידך, אלגברה עם יחידה המקיימת את הזהות הימנית והשמאלית היא אלטרנטיבית; ואלגברה עם חילוק[1] המקיימת את זהות מופן הימנית או השמאלית היא אלטרנטיבית.
באלגברה עם יחידה המקיימת את זהות מופן הימנית או השמאלית מתקיימת הזהות $ \ (a,b,a)^{4}=0 $, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ (a,b,c) הוא האסוציאטור.
מקורות
- The Role of Nonassociative Algebra in Projective Geometry, John R Faulkner, 2014.
הערות שוליים
- ↑ כלומר, אלגברה עם יחידה שבה כל אופרטורי הכפל מימין ומשמאל הפיכים.
זהויות מופן34868145