אי-שוויון אדמר

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, אי-שוויון אדמר (ידוע גם כמשפט הדטרמיננטות של אדמר) פורסם לראשונה על ידי ז'אק אדמר ב-1893. לפי האי-שוויון, הערך המוחלט של דטרמיננטה של מטריצה שערכיה מספרים מרוכבים קטן או שווה למכפלת האורכים של ווקטורי עמודותיה (שורותיה). כאשר למטריצה יש רק ערכים ממשיים, נפח המקבילון במרחב האוקלידי ה-$ n $-ממדי הנפרש על ידי עמודות המטריצה (באמצעות צירופים ליניאריים עם מקדמים לא שליליים קטנים או שווים ל-1) קטן או שווה למכפלת אורכי עמודותיה.

בניסוח פורמלי, אי-שוויון אדמר קובע שאם $ N $ היא מטריצה בעלת עמודות $ v_{i} $, $ 1\leq i\leq n $, אז

$ ,\left|\det(N)\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\| $

ושוויון ייתכן אם ורק אם העמודות של מטריצה $ N $ אורתוגונליות.

תוצאות

אם הערכים המוחלטים של האיברים של מטריצה $ N $ חסומים מלעיל על ידי $ B $, כלומר $ \left|N_{i,j}\right|\leq B $ לכל $ 1\leq i,j\leq n $, אז מתקיים,

$ .\left|\det(N)\right|\leq B^{n}n^{n/2} $

בפרט, אם הערכים של $ N $ הם רק $ 1 $ או $ -1 $ אז

$ .\left|\det(N)\right|\leq n^{n/2} $

בקומבינטוריקה, מטריצה $ N $ שעבורה מתקיים שוויון, כלומר, שבנוסף לדרישות הקודמות העמודות של $ N $ הן אורתוגונליות, נקראת מטריצת אדמר.

באופן כללי יותר, נניח ש-$ N $ היא מטריצה מרוכבת מסדר $ n $, שהערכים המוחלטים של איבריה שלה חסומים מלעיל על ידי $ 1 $, כלומר $ \left|N_{i,j}\right|\leq 1 $ לכל $ 1\leq i,j\leq n $, מאי-שוויון אדמר נובע,

$ .|\operatorname {det} (N)|\leq n^{n/2} $

עבור מטריצה ממשית $ N $ מתקיים שוויון אם ורק אם $ N $ היא מטריצת אדמר.

אם מטריצה $ P $ חיובית למחצה קיימת $ N $ כך ש - $ P=N^{*}N $ כאשר $ N^{*} $ היא המטריצה הצמודה של $ N $. לכן,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): .\det(P)=\det(N)^2 \le \prod_{i=1}^n \|v_i\|^2 = \prod_{i=1}^n p_{ii}

כלומר, הדטרמיננטה של מטריצה חיובית למחצה קטן או שווה למכפלת ערכי האלכסון שלה. גם אי-שוויון זה לעיתים מכונה אי-שוויון אדמר.

הוכחה

אם המטריצה $ N $ היא מטריצה לא הפיכה ולכן הדטרמיננטה שלה היא $ 0 $ והתוצאה היא מיידית. אם המטריצה $ N $ הפיכה ולכן העמודות של $ N $ אינן תלויות ליניארית. נסמן ב-$ M $ את המטריצה המתקבלת על ידי חלוקת כל עמודה של $ N $ באורך שלה. נסמן ב-$ e_{i} $, $ 1\leq i\leq n $, את העמודות של $ M $. ידוע לנו כי הן ווקטורי יחידה ואורכן 1. נוכיח תחילה שהמטריצה $ M $ מקיימת את טענת המשפט, כלומר, $ .\left|\det M\right|\leq 1 $

נסמן $ P=M^{*}M $ כאשר$ M^{*} $ היא המטריצה הצמודה של $ M $, ונניח ש-$ \lambda _{1},...,\lambda _{n} $ הם הערכים העצמיים של $ P $. מכיוון שאורך כל עמודה של $ M $ הוא $ 1 $, כל איבר באלכסון הראשי של $ P $ הוא $ 1 $ ולכן העקבה של $ P $ היא $ n $. ניישם את אי-שוויון הממוצעים ונקבל,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): ,\det P = \prod_{i=1}^n \lambda_i \le \bigg({1 \over n}\sum_{i=1}^n \lambda_i\bigg)^n = \left({1 \over n} \operatorname{tr} P \right)^n = 1^n = 1

מכאן נובע מקרה פרטי של המשפט,

$ .\left|\det M\right|={\sqrt {\det P}}\leq 1 $

התוצאה הכללית נובעת מהמקרה הפרטי:

$ .\left|\det N\right|={\bigg (}\prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|{\bigg )}\left|\det M\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\| $

אם יש שוויון אז כל הערכים העצמיים של $ P $ שווים וסכומם $ n $ ולכן שווים ל-$ 1 $. המטריצה $ P $ היא צמודה לעצמה ולכן ניתנת ללכסון, ומכאן שהיא מטריצת היחידה - במילים אחרות העמודות של $ M $ הן קבוצה אורתונורמלית והעמודות של $ N $ הן קבוצה אורתוגונלית. הוכחות רבות אחרות ניתן למצוא בספרות.

קישורים חיצוניים

• אי-שוויון אדמר, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אי-שוויון אדמר38781479Q1365087