תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה
תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה (סינית מסורתית: 九章算術, סינית מפושטת: 九章算术, פין-יין: Jiǔzhāng Suànshù, תעתיק עברי: גְ'יו גָא'נְג סוָּאן שוּ) הוא ספר מתמטיקה סיני שחובר בידי מספר דורות של מלומדים החל מהמאה ה-2 לפני-הספירה ועד למאה ה-1 לספירה. הגישה המתמטית המגולמת ב"תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה" (להלן: "תשעת הפרקים") היא מציאת השיטות הכלליות ביותר לפתרון בעיות מעשיות. זוהי הגישה הסינית העתיקה האופיינית שהתרכזה במתמטיקה תכליתית, בניגוד לגישה המתמטית היוונית של אותה התקופה - זאת של יוון ההלניסטית - שהתמקדה בעיקר בהסקת משפטים מקבוצה נתונה של אקסיומות.
ראשי הפרקים בספר מתחילים, בדרך-כלל, עם הצהרה של בעיה, ממשיכים עם פתרון לבעיה ומסתיימים עם ניתוח התהליך שהוביל לפתרון זה.
היסטוריה
הכותרת המלאה הנוכחית של הספר מופיעה על שני לוחות ארד המתוארכים לשנת 179 לספירה, אך ישנן השערות שהספר הופיע אף בתקופה מוקדמת יותר בשם אחר[1].
כיום, רוב החוקרים סבורים שהמתמטיקה הסינית והמתמטיקה העתיקה של אגן הים התיכון התפתחו באופן עצמאי, פחות או יותר, עד לתקופה בה "תשעת הפרקים" לבש את צורתו הסופית. לכן יש אך מעט ערך היסטורי בהשערות על איזו מן התרבויות הייתה "יותר מתקדמת" בתקופת זמן כלשהי. אף-על-פי-כן, ניתן להעיר שהשיטה המתוארת בפרק 7 של הספר לא התגלתה באירופה עד למאה ה-13, והשיטה המתוארת בפרק 8 לא נמצאה לפני המאה ה-16. כמו כן, בין הכתבים ניתן למצוא הוכחה מתמטית למשפט פיתגורס[2]. ישנם גם עניינים מתמטיים של המתמטיקה המערבית הקדומה שלא נמצאו בסין העתיקה. ההשפעה של "תשעת הפרקים" סייעה רבות להתפתחותה של המתמטיקה העתיקה באזורי קוריאה ויפן. השפעתו של הספר על החשיבה המתמטית בסין ארכה זמן-רב, עד לתקופתה של שושלת צ'ינג.
בשנת 263, המתמטיקאי הסיני בן המאה ה-3 לִיאוּ הוּאַי כתב פרשנות מפורטת מאד על הספר. הוא ניתח את התהליכים המתוארים ב"תשעת הפרקים" צעד אחר צעד, בצורה המכוונת לתת לקורא ביטחון מלא באמינותן - אם-כי, הוא לא הוכיח את אמיתותן של השיטות במובן האאוקלידי הקלאסי. לפרשנות של לִיאוּ יש עניין מתמטי רב בפני-עצמה. לִיאוּ גם מזכיר את המתמטיקאים שקדמו לו, ז'אנג קאנג (נולד בין 165 לפנה"ס ל-142 לפנה"ס) וגֶנְג שאוּ-צ'אנג (נולד בין 75 לפנה"ס ל-49 לפנה"ס) (ראו גם אצטרולב כדורי), כאלו שסידרו את הפרקים של הספר בסדר הופעתם הנוכחי, וככותבי פרשנויות מוקדמות; אך רשימות מתקופת שושלת הָאן לא מזכירות שמות של מחברי פרשנויות כלשהם, וכאלה אינם מוזכרים עד למאה ה-3[3].
"תשעת הפרקים" נכתב בעילום שם ומקורותיו של הספר אינם ברורים. עד לשנים האחרונות לא היו כל ראיות מוצקות בדבר כתב מתמטי שקדם לו, אך פני-הדברים השתנו. ה"סוּאַן שוּ שוּה" (סינית מסורתית: 算數書), או "כתבים על התחשבנות", הוא חיבור מתמטי עתיק בן 7,000 תווים לערך, שנכתב על 190 רצועות במבוק. "כתבים על התחשבנות" התגלה לצד כתבים נוספים ב-1983 כשארכאולוגים פתחו קבר בזַ'אנְגגִ'יאָשַאן שבמחוז הוביי. מעדויות כתובות ידוע שקבר זה נסגר בשנת 186 לפנה"ס, בתחילת שושלת הָאן המערבית. ניתן בבירור לראות מספר דברים מקבילים בין שני הכתבים, אם כי יחסו של הספר ל"תשעת הפרקים" עדיין נדון על ידי חוקרים. לעומת זאת, ה"סואן שו שוה" הוא הרבה פחות עקבי מ"תשעת הפרקים", ונראה כי הוא מורכב מכמה חיבורים עצמאיים קצרים שנלקחו ממספר מקורות וצורפו יחדיו.
פרקי הספר
תוכנם של תשעת הפרקים הוא כדלהלן:
- 方田 פַאנְג טִיאַן - שדות מלבניים. בפרק זה, העוסק במדידת שטחיהם של שדות בצורות שונות, ישנם הסברים על ביצוע ארבע פעולות החשבון על שברים, כמו גם את האלגוריתם האוקלידי למציאת מחלק משותף מקסימלי.
- 粟米 סוּ מִי - דֹחַן ואורז. בפרק השני, העוסק בסחר ותמחור טובין, מובאות דוגמאות לשימוש בחוקי הפרופורציות והאחוזים.
- 衰分 קוּאַי פֶן - חלוקה פרופורציונלית. הפרק עוסק בחלוקות של סחורה וכסף. הפרק מתאר שימוש בחוקי פרופרציות, הן ישרות והן הפוכות, ואף שימוש בטורים חשבוניים והנדסיים.
- 少廣 שֵאוֹ גוּאַנְג - הרוחב הפחוּת. הפרק הרביעי עוסק בבעיות בהן ישנה תלות בין אורך לשטח ועוסק ביישומים של נושאים כגון שברי יחידה ושורשים מסדר שני ושלישי, ובמציאת השטח והנפח של מעגל וכדור. בפרק זה ניתן למצוא את רעיון הגבול והאינפיניטסימל[4].
- 商功 שַאנְג גוֹנְג - ייעוץ על עבודות. פרק זה עוסק בהנדסה אזרחית ובנושאים של הנדסת המרחב, כגון מציאת הנפח של גופים מצורות שונות.
- 均輸 ג'וּן שוּ - מיסוי הוגן. הפרק עוסק בבעיות מתקדמות יותר המשלבות נושאים כמו קצב ופרופורציה.
- 盈不足 יִינְג בּוּ זוּ - עודף וגרעון. הפרק השביעי עוסק בפתירת בעיות לינאריות באמצעות השיטה שלימים תיקרא false position method או regula falsi method, במתמטיקה המערבית.
- 方程 פַאנְג צֵ'נְג - המערך המלבני. פרק זה ממשיך את הפרק השביעי ודן בשיטות נוספות לפתרון בעיות לינאריות בכמה משתנים. הספר מציג מספר שיטות הדומות לאלימינציית גאוס-ג'ורדן המודרנית.
- 勾股 גוּאַי גוּ - בסיס וגובה. הפרק התשיעי עוסק במשולשים ישרי זווית וכולל יישומים של מה שידוע במערב כמשפט פיתגורס, שלשות פיתגוראיות וחפיפת משולשים. כמו כן, ניתן למצוא בפרק זה משוואות ריבועיות ואת פתרונן באמצעות האלגוריתם הסיני להוצאת שורש ריבועי, ולא באמצעים אלגבריים.
תרגומים
עיון, מחקר ותרגום מלא לאנגלית של "תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה" ושל הפרשנות של לִיאוּ הוּאַי יצא בהוצאת Oxford בשנת 1999, בעריכתו של Shen Kangshen (עורך ראשי), תחת השם "The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary", מסת"ב 0-19-853936-3..
כמו כן, בשנת 2004 יצא לאור תרגום לצרפתית המכיל גם נספחים מפורטים שנכתבו בידי חוקרים רבים, ומהדורה קריטית של הטקסקט הסיני והפרשנות של ליאו הואי. Chemla, Karine, and Shuchun Guo. 2004. Les neuf chapitres: le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires. Paris: Dunod..
ראו גם
לקריאה נוספת
- Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books, Ltd.