שלשה פיתגורית

שלשה פיתגורית (או שלשה פיתגוראית) היא שלשה של מספרים טבעיים המקיימת את השוויון $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , המופיע במשפט פיתגורס. בהתאם למשפט ההפוך למשפט פיתגורס, משולש שצלעותיו מהוות שלשה פיתגורית הוא משולש ישר-זווית. השלשה הפיתגורית הקטנה ביותר, 3, 4, 5, הייתה ידועה משחר ההיסטוריה, ומשערים שהמשולש ישר הזווית שמתקבל ממנה שימש להעברת אמות מים עוד במצרים הקדומה.

כל שלשה פיתגורית אפשר להכפיל בגורם קבוע שלם, ולקבל שלשה פיתגורית חדשה (אם $a,b,c$ היא שלשה פיתגורית, אז $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ולכן גם $(ak)^{2}+(bk)^{2}=(ck)^{2}$ , כך ש- $ak,bk,ck$ גם היא שלשה פיתגורית). שלשה פיתגורית שלא ניתן לקבל כמכפלה של שלשה פיתגורית אחרת בקבוע שלם גדול מ-1 נקראת שלשה פרימיטיבית: אלו הן השלשות $a,b,c$ שבהן המחלק המשותף המקסימלי הוא 1; בשלשה כזו, המחלק המשותף המקסימלי של כל שני מספרים הוא 1.

להלן רשימת 16 השלשות הפרימיטיביות שבהן $c\leq 100$ :

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(7, 24, 25)	(8, 15, 17)
(9, 40, 41)	(11, 60, 61)	(12, 35, 37)	(13, 84, 85)
(16, 63, 65)	(20, 21, 29)	(28, 45, 53)	(33, 56, 65)
(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(48, 55, 73)	(65, 72, 97)

פרמטריזציה של התבנית הריבועית

אפשר לייצר אינסוף שלשות פיתגוריות באמצעות הנוסחה $a=2st,b=s^{2}-t^{2},c=s^{2}+t^{2}$ , כאשר $s,t$ מספרים טבעיים. ההוכחה שאלו אכן שלשות פיתגוריות היא על ידי חישוב ישיר: $(2st)^{2}+(s^{2}-t^{2})^{2}=s^{4}+2s^{2}t^{2}+t^{4}=(s^{2}+t^{2})^{2}$ . משערים שנוסחה זו הייתה ידועה כבר לבבלים, שיצרו לוח בכתב יתדות (לוח פלימפטון 322) המתוארך לתקופה שבין שנת 1900 לפנה"ס לשנת 1600 לפנה"ס וכולל חמש-עשרה שלשות פיתגוריות, ובהן $1771^{2}+2700^{2}=3229^{2}$ (אותה אפשר לקבל אם נבחר $s=50,t=27$ ).

בפרט, אם נציב $s=t+1$ נקבל את השלשות $a=2t(t+1)={\frac {b^{2}-1}{2}},b=2t+1,c=2t^{2}+2t+1={\frac {b^{2}+1}{2}}$ . לכן כל מספר אי-זוגי (למעט המספר $1$ ) הוא חלק משלשה פיתגורית פרימיטיבית, ומכאן שיש אינסוף שלשות פיתגוריות פרימיטיביות.

משפט: כל שלשה פיתגורית פרימיטיבית אפשר להציג באמצעות הנוסחה שבראש הסעיף, כאשר s, t זרים ואחד מהם זוגי.

הוכחה: נבחין שאם $a,b,c$ שלשה פרימיטיבית, אז $c$ מוכרח להיות אי-זוגי, וכן גם אחד (בדיוק) מבין המספרים $a,b$ (זאת משום שריבוע משאיר תמיד שארית 0 או 1 בחלוקה ל-4). נניח שלמספר הזוגי בשלשה קוראים $a$ . מן השוויון $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ נובע $a^{2}=c^{2}-b^{2}=(c-b)(c+b)$ , כאשר $c-b$ ו- $c+b$ שניהם זוגיים. מכיוון ש- $b,c$ זרים, המחלק המשותף המקסימלי של $c-b$ ו- $c+b$ הוא בדיוק 2, ומכיוון שמכפלתם $a^{2}$ היא ריבוע, יוצא שכל אחד מן הגורמים הוא פעמיים ריבוע. אם נכתוב $c+b=2s^{2}$ ו- $c-b=2t^{2}$ נקבל את ההצגה הדרושה. כעת s, t זרים משום שכל מחלק משותף שלהם מחלק גם את a, b, c, ואחד מהם זוגי משום שאחרת b ,a ו-c כולם זוגיים.

מכאן אפשר לקבל נוסחה כללית לכל השלשות הפיתגוריות: $(2stk,(s^{2}-t^{2})k,(s^{2}+t^{2})k)$ , כאשר s, t זרים ואחד מהם זוגי; כל שלשה מוצגת כך באופן יחיד (משום ש-k הוא המחלק המשותף המקסימלי של שלושת המספרים). זוהי דוגמה לפתרון של משוואה המתקבלת מתבנית ריבועית עם נקודה רציונלית. יש שלשות, כגון $(9,12,15)$ , שלא ניתן להציג עם $k=1$ (במקרה זה, משום ש-15 אינו סכום של שני ריבועים).

על ידי בחינת הערכים האפשריים של s ו-t מודולו מספר קבוע n, אפשר להסיק אילו שאריות יכולה לקבל שלשה פרימיטיבית בחלוקה ל-n. לדוגמה, אחד מבין המספרים a ו-b מתחלק ב-4, ואילו השני אי-זוגי; גם c אי-זוגי; בפרט, מספר הנותן שארית 2 בחלוקה ל-4 אינו יכול להופיע בשלשה פיתגורית פרימיטיבית. בדומה לזה, בדיוק אחד משני המספרים a ו-b מתחלק ב-3, ובדיוק אחד מבין השלושה מתחלק ב-5.

מכיוון ש-c הוא סכום של שני ריבועים (זרים זה לזה), כל גורם ראשוני של c הוא מהצורה $4n+1$ .

כל מספר טבעי שאינו נותן שארית 2 בחלוקה ל-4 יכול להופיע בתפקיד a בשלשה פרימיטיבית. מספר השלשות הפרימיטיביות (עם b > 0) שבהן a מופיע שווה ל- $2^{s-1}$ , כאשר s הוא מספר הגורמים הראשוניים השונים של a.

העץ הטרנרי של השלשות הפיתגוריות

אם $\,a,b,c$ שלשה פיתגורית, אז המספרים $\ m=c-b,n=c-a,q=a+b-c$ מקיימים את היחס $\ q^{2}=2mn$ ; ולהפך, אם $\ (m,n,q)$ מקיימים את היחס הזה, אפשר לבנות מהם שלשה פיתגורית באמצעות הטרנספורמציה ההפוכה: $\ a=q+m,\ b=q+n,\ c=q+m+n$ . במילים אחרות, אם מגדירים $\ T(a,b,c)=(c-b,c-a,a+b-c)$ , אז T מעבירה את היריעה $\ \{(a,b,c):a^{2}+b^{2}=c^{2}\}$ ליריעה $\ \{(m,n,q):q^{2}=2mn\}$ . היתרון הוא, כמובן, שאת המשוואה השנייה קל יותר לפתור (במספרים שלמים). השלשה $\ (a,b,c)$ פרימיטיבית אם ורק אם $\ m,n$ זרים.

משפט רוברטס

משפט: הווקטור ${\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}$ מהווה שלשה פרימיטיבית אם ורק אם הוא ניתן להצגה כ ${\begin{pmatrix}3&4&5\end{pmatrix}}\cdot M$ , כאשר M היא מכפלה של מספר סופי של מטריצות מבין: $T_{1}={\begin{pmatrix}1&2&2\\-2&-1&-2\\2&2&3\end{pmatrix}}$ , $T_{2}={\begin{pmatrix}-1&-2&-2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix}}$ , $T_{3}={\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix}}$ .

יצוג השלשות כעץ טרנרי: בדרך זו, ניתן להציג את כל השלשות הפרימיטיביות בעץ טרנרי, עץ שבו לכל קודקוד יש בדיוק שלושה בנים. שורש העץ יהיה השלשה ${\begin{pmatrix}3&4&5\end{pmatrix}}$ . לכל שלשה $P={\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}$ , יהיו שלושה בנים: $P_{1}=P\cdot T_{1}\quad P_{2}=P\cdot T_{2}\quad P_{3}=P\cdot T_{3}\quad$

רעיון ההוכחה: לכל שלושה מספרים טבעיים המהווים שלשה פיתגורית $P={\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}$ נגדיר את השלשות המסומנות המתקבלות ממנה: $P_{1}={\begin{pmatrix}-a&b&c\end{pmatrix}}$ , $P_{2}={\begin{pmatrix}a&-b&c\end{pmatrix}}$ , $P_{3}={\begin{pmatrix}-a&-b&c\end{pmatrix}}$ . נגדיר את ה'תאום' של שלשה המתאימה ל- $\ (m,n,q)$ השלשה המתקבלת מהחלפת $\ q$ ב $\ -q$ . יהיו ${P_{1}}\prime ,{P_{2}}\prime ,{P_{3}}\prime$ תאומי-mnq של $P_{1},P_{2},P_{3}$ בהתאמה. מניתוח התהליך ניתן להסיק כי ${P_{1}}\prime ,{P_{2}}\prime ,{P_{3}}\prime$ הן שלשות פיתגוריות של מספרים טבעיים וכי לכל i=1,2,3 מתקיים : ${P_{i}}\prime =P\cdot T_{i}$ כדי להוכיח את הכיוון ההפוך מוצאים לכל שלשה פיתגורית (לא מסומנת) $P={\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}$ את התאום שלה $P\prime ={\begin{pmatrix}a\prime &b\prime &c\prime \end{pmatrix}}$ ומבצעים תהליך דומה.

שלשות פיתגוריות מיוחדות

פייר דה פרמה מצא שלשה פיתגורית a,b,c כך ש a+b ו- c ניתנים להצגה כריבוע של מספר טבעי:

a=4565486027761\quad b=1061652293520\quad c=4687298610289\quad a+b=2372159^{2}\quad c=2165017^{2}

לא ייתכנו שלשות פיתגוריות בהן a ו- b הם ריבועים של מספרים שלמים. פרמה הוכיח זאת בנסיגה אינסופית.

קיימות שלשות פיתגוריות שונות עם אותו ערך של המכפלה ab. למשל, בשלשות 24,70,74, 40,42,58 ו-15,112,113 מתקיים ab=1680.

לא ידוע האם קיימות שלשות עבורן abc זהה.

קיימות אינסוף שלשות פיתגוריות שבהן a ו-b הם מספרים עוקבים, כלומר b=a+1. ארבע השלשות הראשונות מסוג זה הן 3,4,5, 20,21,29, 119,120,169 ו-696,697,985. כיוון ש-c הוא סכום של שני ריבועים עוקבים, המשוואה המתאימה לכך היא $a^{2}+(a+1)^{2}=c^{2}$ , כלומר $2a^{2}+2a+1=c^{2}$ . לאחר הכפלה ב-2 והעברת אגפים תתקבל המשוואה $(2a+1)^{2}-2c^{2}=-1$ . זוהי משוואת פל, שפתרונותיה ידועים (c שווה לאיבר ה-(2n+1) בסדרת פל). לאחר הוספת הביטוי $2c^{2}$ לשני האגפים ואז הוצאת שורש ריבועי, מתקבלת האפשרות לבודד את a ולהגיע למשוואה $a={\frac {{\sqrt {2c^{2}-1}}-1}{2}}$ . מכאן ניתן לגלות את הנוסחאות הכלליות ל-b ,a ו-c בשלשות פיתגוריות שבהן a ו-b עוקבים:

a_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2n+1}+(1-{\sqrt {2}})^{2n+1}-2}{4}},\ \ b_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2n+1}+(1-{\sqrt {2}})^{2n+1}+2}{4}},\ \ c_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2n+1}-(1-{\sqrt {2}})^{2n+1}}{2{\sqrt {2}}}}

הכללות

הכללה מפורסמת של בעיה זו היא המשפט האחרון של פרמה הקובע שאין פתרון במספרים טבעיים למשוואה $\ a^{n}+b^{n}=c^{n}$ עבור חזקות הגדולות מ-2.
משוואת לז'נדר, על שמו של המתמטיקאי אדריאן-מארי לז'נדר: