דינמיקה קוונטית

התפתחות בזמן של פונקציית גל של חלקיק בקופסה

דינמיקה קוונטית היא תחום פיזיקלי העוסק בהתפתחות בזמן של מערכת קוונטית.

אופרטור ההתפתחות בזמן

האובייקט המרכזי בדינמיקה הקוונטית הוא אופרטור ההתפתחות בזמן. אופרטור זה מקדם (באופן שיפורט להלן) את המערכת הפיזיקלית ממצבה ההתחלתי הנתון בזמן כלשהו $\ t_{0}$ לזמן מאוחר יותר $\ t>t_{0}$. אופרטור זה מסומן לרוב ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ U(t,t_0) } . כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t_0=0 } מקצרים פעמים רבות את הסימון ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ U(t) } . לאופרטור התכונות הבאות:

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ U(t,t_0) } אופרטור אוניטרי (כמו כל אופרטור המייצג טרנספורמציה פיזיקלית של מערכת שאמורה לשמר הסתברות).
• תכונת ההרכבה - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ U(t_2,t_0) = U(t_2,t_1) U(t_1,t_0)} (שני צעדי קידום מהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t_0 } להפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t_1 } ואז מ$\ t_{1}$ להפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t_2 } שקולים לצעד גדול מהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t_0 } להפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t_2 } )
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{t\rightarrow t_0} U(t,t_0) = 1} (רציפות - אם עבר זמן קצר המערכת משתנה רק מעט)

משוואת שרדינגר

על ידי שימוש בתכונות הנ"ל ניתן להראות כי אופרטור ההתפתחות בזמן מקיים את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה, המכונה משוואת שרדינגר עבור אופרטור ההתפתחות בזמן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i \hbar \frac{\partial}{\partial t} U(t,t_0)= \mathcal{H}(t) U(t,t_0) } כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hbar } הוא קבוע פלנק המצומצם ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}(t) } הוא אופרטור הרמיטי בעל ממדים של אנרגיה, המזוהה עם ההמילטוניאן.

פתרון משוואת שרדינגר

צורת הפתרון של משוואת שרדינגר עבור אופרטור ההתפתחות בזמן תלויה בצורת ההמילטוניאן.

• אם ההמילטוניאן לא תלוי בזמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\mathcal{H}(t)=\mathcal{H} \right)}  :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(t,t_0) = \exp\left(-\frac{i}{\hbar}\mathcal{H}(t-t_0) \right)}

• אם ההמילטוניאן תלוי בזמן אך חילופי עם עצמו בזמנים שונים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left([\mathcal{H}(t_1),\mathcal{H}(t_2)]=0\right)}  :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(t,t_0) = \exp\left(-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t \mathcal{H}(t^\prime)dt^\prime\right)}

• אם ההמילטוניאן תלוי בזמן ולא מתחלף עם עצמו בזמנים שונים - במקרה זה אופרטור ההתפתחות בזמן נתון על ידי טור דייסון:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(t,t_0)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-i}{\hbar}\right)\int_{t_0}^t dt_1\int_{t_0}^{t_1}dt_2\cdots\int_{t_0}^{t_{n-1}}dt_n\mathcal{H}(t_1)\mathcal{H}(t_2)\cdots\mathcal{H}(t_n) } זהו פתרון פורמלי ששימושי בעיקר במקרים פשוטים של המילטוניאן שאינו תלוי בזמן. כאשר ההמילטוניאן תלוי בזמן יש לרוב להשתמש בשיטות קירוב שונות.

תמונות

לשאלה כיצד מקדם אופרטור ההתפתחות בזמן את המערכת אין תשובה חד משמעית. קיימות מספר אינטרפטציות המכונות תמונות באשר לפעולת אופרטור זה. תמונות אלו שקולות מבחינת הפיזיקה שהן מתארות וניתן להשתמש בכל אחת מהן על פי הצורך והנוחות.

תמונת שרדינגר

התמונה האינטואיטיבית ביותר היא תמונת שרדינגר. בתמונה זו, אופרטור ההתפתחות בזמן פועל על המצבים ומקדם אותם בזמן. בהינתן מצב התחלתי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\psi(t_0)\rang } הוא יתפתח למצב:

$$|\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$$

בתמונה זו האופרטורים מייצגים גדלים מדידים קבועים בזמן (למעט תלות מפורשת).

בעזרת שימוש במשוואת שרדינגר לאופרטור ההתפתחות בזמן ובאופן שבו הנ"ל פועל על המצבים ניתן לראות כי המצבים מקיימים את משוואת שרדינגר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rang= \mathcal{H} |\psi(t)\rang }

אם עובדים בבסיס המקום מקבלים את משוואת שרדינגר לפונקציית הגל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\vec x,t)= \mathcal{H} \psi(\vec x,t) }

תמונת שרדינגר שימושית במיוחד כאשר ההמילטוניאן אינו תלוי בזמן ועובדים בבסיס האנרגיה - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}|n\rang=E_n|n\rang} . במקרה זה עבור מצב התחלתי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\psi(t_0)\rang = \sum_n c_n |n\rang } , נקבל כי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\psi(t)\rang = \sum_n c_n e^{-\frac{i}{\hbar} E_nt}|n\rang } במקרה בו המערכת מתחילה ממצב עצמי של ההמילטוניאן היא תשאר במצב זה (המצב יוכפל בפאזה שאינה משפיעה).

תמונת הייזנברג

בתמונת הייזנברג מצב המערכת קבוע בזמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\psi(t)\rang= |\psi(t_0)\rang} , ולעומת זאת האופרטורים מתפתחים בזמן על פי:

$$A_{H}(t)=U^{\dagger }(t,t_{0})A(t_{0})U(t,t_{0})$$

בזמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t_0 } תמונות הייזנברג ושרדינגר מתלכדות, כלומר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\psi\rang_H = |\psi(t_0)\rang_S\ , \ A_H(t_0)=A_S} , כאשר האינדקסים H,S מסמנים מצבים ואופרטורים בתמונות שרדינגר והייזנברג בהתאמה.

ניתן להראות כי בתמונת הייזנברג, האופרטורים מקיימים את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dA_H}{dt} =\frac{1}{i\hbar} \left[A_H,\mathcal{H}\right]+\frac{\partial A}{\partial t}} משוואה זו דומה בצורה למשוואת התנועה של הגודל הקלאסי המתואר על ידי האופרטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A} ומסיבה זו מכונה לעיתים "משוואת התנועה של האופרטור". על ידי שימוש במשוואה קל לחשב ערכי תצפית של גדלים פיזיקליים (ראו משפט ארנפסט) ולקבל חוקי שימור (כל אופרטור המתחלף עם ההמילטוניאן יתן קבוע תנועה).

תמונת האינטראקציה

בתמונה זו מפרידים את ההמילטוניאן לשני חלקים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H} = \mathcal{H}_0 + V } , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}_0} אינו תלוי בזמן ואילו $\ V$ "אינטראקציה" שיכולה להיות תלויה בזמן. המצבים והאופרטורים בתמונת האינטראקציה מוגדרים על ידי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\psi(t)\rang_I = U^{\dagger}(t,t_0)|\psi(t)\rang_S = e^{\frac{i}{\hbar}\mathcal{H}_0 t}|\psi(t)\rang_S } כלומר פונקציית הגל בתמונת האינטרקציה תהיה ההתקדמות של פונקציית הגל אך ורק בהשפעת ההפרעה התלויה בזמן. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_I(t) = e^{\frac{i}{\hbar}\mathcal{H}_0 t} A_S e^{-\frac{i}{\hbar}\mathcal{H}_0 t} } והם מקיימים את המשוואות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rang_I= V_I |\psi(t)\rang_I }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dA_I}{dt} =\frac{1}{i\hbar} \left[A_I,\mathcal{H}_0\right]+\frac{\partial A_I}{\partial t}}

בתמונה זו משתמשים במסגרת תורת ההפרעות התלויה בזמן.

המשמעות היא שבתמונת האינטראקציה יש שילוב של פונקציית גל שמתפתחת בזמן (לפי תמונת שרדינגר) ואופרטורים שמתפתחים בזמן (לפי משוואת הייזנברג).

קירובים

חישובים מדויקים של התפתחות בזמן ניתן לבצע באופן כללי רק עבור מערכת בעלת המילטוניאן בלתי תלוי בזמן. עבור מערכות עם המילטוניאן תלוי בזמן יש צורך להיעזר בשיטות קירוב שונות, כגון: תורת ההפרעות התלויה בזמן, קירובים אדיאבטיים ועוד.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

22362807דינמיקה קוונטית