תורת ההפרעות (מכניקת הקוונטים)

תורת ההפרעות (בתרגומים ישנים מכונה גם טרידה) היא שיטה לפתרון מקורב של בעיות במכניקת הקוונטים, על ידי שימוש בתורת ההפרעות המתמטית. עיקר השיטה הוא הפרדת הבעיה הפיזיקלית לשתי תת-בעיות: בעיה עיקרית "מוכרת" שפתרונותיה ידועים כבר, ובעיה נוספת (בעלת ערכים קטנים ביחס לבעיה העיקרית) שפתרונותיה אינם ידועים- זוהי ההפרעה. המשמעות המתמטית של התייחסות זו, היא שניתן להביע את הפתרונות של בעיית ההפרעה באמצעות הפתרונות של הבעיה המוכרת. כך, דרך הפרדת הבעיה לשתי תת-בעיות, ופתרון של אחת מהן באמצעות האחרת, מתקבל הפתרון הכולל של המערכת. דוגמה מוכרת למערכת שניתן להתייחס אליה כאל מערכת "מופרעת" היא אדוות מים באגם - במקרה זה צורת פני המים באגם שקט הוא בעיה שפתרונה כבר מוכר לנו, והאדוות מהוות את ההפרעה במערכת.

כללי

השיטה מתבססת על חלוקת ההמילטוניאן של המערכת לשני חלקים:

1. ההמילטוניאן הלא מופרע - לרוב המילטוניאן אותו ניתן לפתור או שיש לו קירובים ידועים יותר
2. ההפרעה - ביטוי התורם לאנרגיה וקשה לחשב אותו

ניתן לחזור על חלוקה זו מספר פעמים וזאת בתנאי שההפרעה בכל שלב היא קטנה יותר בסדרי גודל מההפרעות הקודמות.

שיטה זו נדרשת כאשר הספקטרום האנרגטי של המערכת ומצביה אינם ניתנים לחישוב מדויק (כפי שקורה במרבית האטומים והמולקולות).

אפשרויות אחרות לחישוב זה כוללות בין השאר:

1. ביצוע שיטת הוואריציה על ההמילטוניאן כפונקציונל של פונקציית הגל ומציאת מינימום האנרגיה (מתאים לחישוב אנרגיית היסוד).
2. חישוב בעזרת אנליזה נומרית של הערכים.

תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן

תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן היא מקרה פרטי של תורת ההפרעות כאשר ההמילטוניאן המייצג את המערכת אינו משתנה בזמן. את השיטה פיתח ארווין שרדינגר ב-1926.

התיקונים הראשונים (סיכום הנוסחאות)

נתון המילטוניאן לא מופרע, ונניח שיודעים לחשב את המצבים העצמיים והאנרגיות העצמיות שלו (ערכים עצמיים):

$\ H_{0}|n^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|n^{(0)}\rangle$

נוסיף להמילטוניאן הפרעה, כלומר פוטנציאל חלש יחסית, כאשר $\lambda \ll 1$:

$\ H=H_{0}+\lambda V$

האנרגיות המתוקנות יהיו:

$\ E_{n}=E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots$

כאשר

התיקון הראשון לאנרגיה: $E_{n}^{(1)}=\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$

התיקון השני לאנרגיה: $E_{n}^{(2)}=\sum _{k\neq n}{\frac {|\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}$

המצבים המתוקנים יהיו:

$\ |n\rangle =|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\cdots$

כאשר

$|n^{(1)}\rangle =\sum _{k\neq n}{\frac {\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}|k^{(0)}\rangle$

ואין ניוון.

פיתוח מתמטי

נתחיל בהמילטוניאן הלא מופרע, H₀, ונניח שאינו תלוי בזמן, ושאנו יודעים את רמות האנרגיה שלו והמצבים העצמיים שלו, הנובעים ממשוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן:

$H_{0}|n^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|n^{(0)}\rangle \quad ,\quad n=1,2,3,\cdots$

לשם פשטות, נניח כי ספקטרום האנרגיות דיסקרטי. ה$(0)$ העליון מסמל גדלים ששייכים למערכת הבלתי מופרעת.

כעת נציג את ההפרעה להמילטוניאן. יהי V פוטנציאל פיזיקלי חלש, ו־$\lambda$ גודל חסר ממדים, המבטא את חוזק ההפרעה ומקבל ערכים בין 0 (כלומר, אין הפרעה) ל־1 (הפרעה במלואה). ההמילוטניאן המופרע הוא לפיכך

$\ H=H_{0}+\lambda V$

רמות האנרגיה והמצבים העצמיים של ההמילטוניאן המופרע נתונים על ידי משוואת שרדינגר:

$\left(H_{0}+\lambda V\right)|n\rangle =E_{n}|n\rangle$

המטרה שלנו היא לבטא את E_n ו־$|n\rangle$ באמצעות רמות האנרגיה והמצבים העצמיים של ההמילטוניאן הישן (הלא מופרע). אם ההפרעה אכן חלשה, ניתן לכתוב אותם כטור חזקות ב־λ:

$E_{n}=E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots$

$|n\rangle =|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\lambda ^{2}|n^{(2)}\rangle +\cdots$

כאשר λ = 0, אנו חוזרים לערכים של מצב הלא מופרע, ולכן הם סדר אפס של הטורים. בגלל שההפרעה היא חלשה, האיברים הבאים קטנים והולכים ככל שאנו בסדר גבוה יותר.

נציב את טור החזקות במשוואת שרדינגר, ונקבל:

${\begin{matrix}\left(H_{0}+\lambda V\right)\left(|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\cdots \right)\qquad \qquad \qquad \qquad \\\qquad \qquad =\left(E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots \right)\left(|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\cdots \right)\end{matrix}}$

נפתח את המשוואה ונשווה איברים מסדר זהה ב־λ, וכך נקבל סדרה אינסופית של משוואות מצומדות. המשוואה מסדר אפס היא כמובן משוואת שרדינגר להמילטוניאן הלא מופרע. המשוואה עבור הסדר הראשון היא

$H_{0}|n^{(1)}\rangle +V|n^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|n^{(1)}\rangle +E_{n}^{(1)}|n^{(0)}\rangle$

נכפיל את שני האגפים ב $\langle n^{(0)}|$ משמאל. האיבר הראשון באגף ימין מתבטל עם האיבר הראשון באגף שמאל, ולכן השינוי באנרגיה מסדר ראשון הוא:

$E_{n}^{(1)}=\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$

זה פשוט ערך תצפית של ההפרעה כאשר המערכת במצב לא מופרע. כדי לבטא את השינוי מסדר הראשון במצבים העצמיים, נכניס את הביטוי לשינוי מסדר ראשון באנרגיה חזרה במשוואה למעלה, ונשתמש בזהות

$V|n^{(0)}\rangle =\left(\sum _{k}|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|\right)V|n^{(0)}\rangle$

התוצאה היא

$\left(E_{n}^{(0)}-H_{0}\right)|n^{(1)}\rangle =\sum _{k\neq n}\left(\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle \right)|k^{(0)}\rangle$

נניח שהרמה הזו אינה מנוונת. ולכן לאופרטור מצד שמאל יש הופכי מוגדר היטב, ונקבל:

$|n^{(1)}\rangle =\sum _{k\neq n}{\frac {\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}|k^{(0)}\rangle$

ניתן לקבל גם סדרים גבוהים יותר של תיקונים, אם כי החישוב נעשה מסובך יותר. לדוגמה, תיקון מסדר שני ניתן על ידי:

$E_{n}^{(2)}=\sum _{k\neq n}{\frac {|\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}$

עבור רמת היסוד מקבלים כי תיקון זה הוא תמיד שלילי (המונה הוא תמיד חיובי והמכנה מתקבל מחיסור אנרגיית מצב מעורר מאנרגיית מצב היסוד - ערך שהוא תמיד שלילי).

במקרה בו קיים ניוון התיקון מסדר ראשון לאנרגיה נקבע על ידי הערכים העצמיים של הפוטנציאל בתת-המרחב המנוון.

תורת ההפרעות התלויה בזמן

ערך מורחב – תורת ההפרעות התלויה בזמן

ישנן טכניקות לשימוש בתורת ההפרעות גם כאשר להמילטוניאן המייצג את המערכת נוספת הפרעה המשתנה בזמן. בתורת ההפרעות התלויה בזמן בדרך כלל מנסים לחשב כיצד תעבור המערכת בין מצביה העצמיים (הלא מופרעים) בעקבות ההפרעה.

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

32669338תורת ההפרעות (מכניקת הקוונטים)