שיטות אנליטיות לחישוב אינטגרלים מסוימים

לחלק מהאינטגרלים לא ניתן מצד אחד לקבל פתרון עבור האינטגרל הלא-מסוים אולם מהצד השני ניתן לקבל פתרונות אנליטיים (כלומר כאלו שאינם מצריכים אנליזה נומרית) עבור גבולות מסוימים של אינטגרל מסוים.

להלן רשימה חלקית של שיטות לביצוע תהליך האינטגרציה כזה:

זוגיות ואי-זוגיות

כאשר יש פונקציה אי-זוגית ביחס לנקודה $a$ , כלומר מתקיים $f(a+x)=-f(a-x)$ והאינטגרל סימטרי סביב הנקודה $a$ , כלומר הגבולות הם מהצורה $(a-b,a+b)$ אזי האינטגרל הוא אפס;

למשל: $\int \limits _{\pi }^{3\pi }\sin(x)dx=0$

פונקציה זוגית סביב הנקודה $a$ ניתנת לחישוב רק בחצי מהתחום (מעל או מתחת לנקודה $a$ ) תוך הכפלה בשניים. למשל:

\int \limits _{-8}^{8}|x|dx=2\int \limits _{0}^{8}x\,dx=2\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{8}={\bigl [}x^{2}{\bigr ]}_{0}^{8}=(64-0)=64

חישוב במסלול סגור במישור המרוכב

כאשר מבצעים המשכה אנליטית של פונקציה ממשית למישור המרוכב, ניתן להשלים את מסלול האינטגרציה במישור המרוכב כך שיווצר מסלול סגור שניתן לחשב אותו באמצעות משפטים המתאימים לאינטגרל קווי במישור המרוכב כמו משפט האינטגרל של קושי, נוסחת האינטגרל של קושי, ובעיקר משפט השאריות.

השיטה מתבססת על יצירת מסלול סגור $C$ המכיל את הקטע $(a,b)$ המופיע באינטגרל המקורי (אותו נסמן $I$ ), וחישוב האינטגרל במסלול $C$ (אותו נסמן $I_{C}$ ) ובקטעים האחרים המופיעים במסלול.

כך מגיעים למשוואה מהצורה: $f(I)=I_{C}$ כאשר $f$ היא פונקציה הפיכה בתחום המתאים ל- $I$ (בפרט אינטגרל של פונקציה ממשית הוא תמיד ממשי).

דוגמה

${\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {1}{1+\sin(x)}}dx&=\\&=\left[{\begin{matrix}\sin(x)={\dfrac {z-z^{-1}}{2}}\\dx={\dfrac {dz}{iz}}\end{matrix}}\right]\\&=\oint \limits _{|z|=1}{\frac {\frac {dz}{iz}}{1+{\frac {z-z^{-1}}{2}}}}=-{\frac {i}{2}}\oint \limits _{|z|=1}{\frac {dz}{2z+z^{2}-1}}\\&=-{\frac {i}{2}}\oint \limits _{|z|=1}{\frac {\frac {dz}{z+1+{\sqrt {2}}}}{z+1-{\sqrt {2}}}}=-{\frac {i}{2}}\cdot 2\pi i\left[{\frac {1}{z+1+{\sqrt {2}}}}\right]_{z=-1+{\sqrt {2}}}\\&={\frac {\pi }{-1+{\sqrt {2}}+1+{\sqrt {2}}}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\end{aligned}}$

את האינטגרל ${\begin{aligned}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\exp \left({\frac {pxi}{\hbar }}\right)}{x^{2}+a^{2}}}dx\end{aligned}}$ , כאשר $\hbar >0,p,a$ , ניתן לחשב על ידי סגירת המסלול הסגור המצויר בצד שמאל והשאפת $R$ לאינסוף.

תחילה נפתח אותו לצורה נוחה יותר:

{\begin{aligned}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\exp \left({\frac {pxi}{\hbar }}\right)}{x^{2}+a^{2}}}dx=\int \limits _{-R}^{R}{\frac {\exp \left({\frac {pzi}{\hbar }}\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}}dz\end{aligned}}

על פי נוסחת אינטגרל קושי על המסלול הסגור מקבלים כי:

{\begin{aligned}\int \limits _{-R}^{R}{\frac {\exp \left({\frac {pzi}{\hbar }}\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}}dz&+\int \limits _{C_{R}}{\frac {\exp \left({\frac {pzi}{\hbar }}\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}}dz\\&=\oint \limits _{C}{\frac {\exp \left({\frac {pzi}{\hbar }}\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}}dz\\&=2\pi i\left.{\frac {\exp \left({\frac {pzi}{\hbar }}\right)}{z+|a|i}}\right|_{z=|a|i}\\&=2\pi i{\frac {\exp \left({\frac {ip|a|i}{\hbar }}\right)}{|a|i+|a|i}}={\frac {\pi }{|a|}}\exp \left(-{\frac {p|a|}{\hbar }}\right)\end{aligned}}

על פי למת ז'ורדן (אנ') מקבלים כי:

{\begin{aligned}\lim _{R\to 0}\int \limits _{C_{R}}{\frac {\exp \left({\frac {pzi}{\hbar }}\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}}dz=0\end{aligned}}

ועל ידי הצבה מקבלים:

{\begin{aligned}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\exp \left({\frac {pzi}{\hbar }}\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}}dz&=\\&=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\exp \left({\frac {pzi}{\hbar }}\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}}dz+0\\&=\lim _{R\to \infty }\int \limits _{-R}^{R}{\frac {\exp \left({\frac {pzi}{\hbar }}\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}}dz+\lim _{R\to \infty }\int \limits _{C_{R}}{\frac {\exp \left({\frac {pzi}{\hbar }}\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}}dz\\&=\lim _{R\to \infty }\left(\int \limits _{-R}^{R}{\frac {\exp \left({\frac {pzi}{\hbar }}\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}}dz+\int \limits _{C_{R}}{\frac {\exp \left({\frac {pzi}{\hbar }}\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}}dz\right)\\&=\lim _{R\to \infty }\oint \limits _{C}{\frac {\exp \left({\frac {pzi}{\hbar }}\right)}{(z+|a|i)(z-|a|i)}}dz=\lim _{R\to \infty }{\frac {\pi }{|a|}}\exp \left(-{\frac {p|a|}{\hbar }}\right)\\&={\frac {\pi }{|a|}}\exp \left(-{\frac {p|a|}{\hbar }}\right)\end{aligned}}

ובסה"כ מתקיים:

{\begin{aligned}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\exp \left({\frac {pxi}{\hbar }}\right)}{x^{2}+a^{2}}}dx={\frac {\pi }{|a|}}\exp \left(-{\frac {p|a|}{\hbar }}\right)\end{aligned}}

מעבר למערכת קואורדינטות אחרת

כאשר לאינטגרל יש סימטריה כלשהי, ניתן לעבור למערכת קואורדינטות אחרת שבה הוא מופיע בצורה פשוטה יותר. מעבר כזה מהווה למעשה מקרה פרטי של שיטת ההצבה.

דוגמה – חישוב שטח עיגול (בעל רדיוס $R$ ):
עוברים ממערכת צירים קרטזית למערכת קואורדינטות קוטביות ומקבלים אינטגרל פשוט הרבה יותר:

{\begin{aligned}S(R)=\int \limits _{0}^{R}dy\!\!\int \limits _{0}^{\sqrt {R^{2}-y^{2}}}\!\!\!\!\!\!dx=\int \limits _{0}^{R}r\,dr\int \limits _{0}^{2\pi }d\phi =\pi R^{2}\end{aligned}}

דוגמה נוספת:

חישוב האינטגרל הבא: ${\begin{aligned}I=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\end{aligned}}$

{\begin{aligned}I^{2}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}dy=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dx\,dy=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}dr\,d\phi =\pi \end{aligned}}

שימוש בהתמרות

יש מקרים בהם ניתן להציג את האינטגרל המסוים בעזרת התמרה מסוימת (למשל התמרת פורייה) ולהשתמש בתכונות שלה.

לדוגמה: נחשב את ${\begin{aligned}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}dx\end{aligned}}$ .

נגדיר פונקציה $f(t)={\frac {1}{\sin(t)}}-{\frac {1}{t}}$ . קל לבדוק כי $f$ בעלת נקודת אי-רציפות סליקה בנקודה 0, ולכן נוכל להתייחס אל $f$ כאל פונקציה הרציפה בקטע $\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]$ .