רנורמליזציה

רנורמליזציה היא אוסף שיטות מתמטיות המשמשת בתורת השדות הקוונטים (QFT) לצורך חישובים והערכות של מדידים, כאשר ההנחה היא שהם בעלי גודל סופי אינה תקפה עוד בחישובים (מתקבלים ערכים אינסופיים). רנורמליזציה הופיעה לראשונה באלקטרודינמיקה קוונטית ובין המובילים של הפיתוח של שתי אלו היו הפיזיקאים ריצ'רד פיינמן, ג'וליאן שווינגר ושינאיצ'ירו טומונאגה שזכו יחדיו בפרס נובל בפיזיקה בשנת 1965. תחילה לא היה ביסוס מתמטי לתהליך זה, אך אחרי עבודה בתחומי תיאורית השדה האפקטיבי וחבורות רנורמליזציה התקבלה כחלק בסיסי מעבודת החישוב. כיום שיטה זו מבוססת היטב ומאפשרת חישובים שאושרו בניסויים בדיוקים גבוהים.

הרנורמליזציה למעשה "מחביאה" את התוצאה האינסופית בתוך הקבועים הבסיסיים (כמו מטען חשמלי ומסה) כך שהקבועים שנכתבים במשוואה המקורית הם אינסופיים, אבל הם מדידים וסופיים אחרי רנורמליזציה.

היסטוריה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

רקע: אינסופים ורגולריזציה בתורת השדות הקוונטית

רגולריזציה היא דרך "לכמת" את האינסוף המתקבל בחישובי תורת השדות הקוונטית. בתהליך בוחרים גודל פיזיקלי שהוא הרגולטור, ומשנים את ערכו לערך שרירותי כך שתוצאת החישוב תהיה סופית. בגבול שבו אותו הגודל מקבל את ערכו הפיזיקלי, החישוב חוזר לאינסוף. הדרך הקלה ביותר לבחון את התופעה היא באמצעות דיאגרמת פיינמן, שהיא שיטת החישוב בתורת ההפרעות של תורת השדות הקוונטית. אנליזה זו תואמת בדיעבד גם טיפול באינסופים בשיטות חישוב אחרות.

החישוב של המשרעת של דיאגרמת לולאה אחת באלקטרודינמיקה קוונטית מכיל את האיבר

A=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {k^{2}}{k^{2}[(k-p_{1})^{2}-m^{2}][(k-p_{2})^{2}-m^{2}]}}

כאשר $\ k$ הוא התנע ה-4-ממדי של החלקיקים בלולאה, הוא אינו נקבע על פי תנאים חיצוניים ולכן יכול לקבל כל ערך ממשי. משרעת זו היא אינסופית, עקב גבולות האינטגרציה שהם אינסופיים - בעיה זו נקראת התבדרות UV. הפתרון הפשוט ביותר הוא לקבוע קיטעון (cutoff) לתנע, כלומר לבצע את האינטגרציה בין $\ [-\Lambda ,\Lambda ]$ במקום אינסוף. הרגולריזציה הזו שקולה למקרה שבו התהליך והחוקים הפיזיקליים נכונים עד כדי סקאלה $\ \Lambda$ . התלות של התוצאה ברגולטור מאפשרת לקבל תובנות רבות ערך על התהליך הפיזיקלי, ונותנת רמזים על מהותה של פיזיקה אפשרית שטרם נתגלתה באנרגיות גבוהות יותר.

אם החלקיקים בלולאה הם חסרי מסה, $\ m=0$ , אזי תהיה התבדרות לאינסוף הנגרמת כתוצאה מהאינטגרל סביב 0 - התבדרות IR. במקרה זה קיטעון לא משמש כרגולטור, ופתרון מתאים יכול להיות הוספת מסה לא אמיתית קטנה לחלקיקים, כך שנקבל חזרה את הביטוי למעלה.

שיטת רגולריזציה שהפכה לתורה בפני עצמה היא כרומודינמיקה קוונטית על סריג. בשיטה זו מחלקים את המרחב-זמן לרשת בדידה וסופית של נקודות שבהן פותרים את המשוואות. המרחקים בין הנקודות בסריג משמשים כרגולטור UV, עקב הקשר ההפוך בין מרחק לתנע בתורת הקוונטים, ובאופן דומה הגודל הסופי של הסריג (באופן טיפוסי כמה עשרות מרחקי סריג) מהווה רגולטור IR. כך כל חישוב בתורה זו יוצא סופי וניתן לטיפול על ידי מחשב.

שיטות רגולריזציה נוספות:

רגולריזציה ממדית - מתוארת בהרחבה בפרק #רגולריזציה ממדית באלקטרודינמיקה קוונטית.
רגולריזציית פאולי-וילארס (Pauli-Villars regularization)
תורת הפרעות סיבתית (Causal perturbation theory)
רגולריזציית פונקציית זטה (Zeta function regularization)

שיטות אלו מאפשרות כאמור לכתוב גודל שהוא אינסופי באמצעות גדלים סופיים, שבגבול מסוים חוזרים לערכם הפיזיקלי האינסופי. הרנורמליזציה משתמשת בגודל עם הרגולטור ומתאימה אותו לגודל סופי שאינו תלוי ברגולטור. הרגולטור לכן אינו נראה באופן ישיר בתוצאה הפיזיקלית הסופית, אלא "מוחבא" בתהליך, אך עדיין משפיע עליו. לכן כל תוצאת חישוב נדרשת גם לדיווח תהליך הרגולריזציה לשם שלמות והשוואה עם תוצאות אחרות ותוצאות ניסיוניות.

רגולריזציה ממדית באלקטרודינמיקה קוונטית

בתורת אלקטרודינמיקה קוונטית אופן החישוב המקובל הוא באמצעות דיאגרמות פיינמן (תורת ההפרעות), שהן פיתוח לטור על פי קבוע האינטראקציה, כאשר כל איבר בטור מתואר על ידי דיאגרמת פיינמן. המשרעת (אמפליטודה) של התהליך כולו, שקשורה להסתברות של התהליך, היא סיכום החישוב על פי כללי פיינמן של הדיאגרמות. כאשר קיימות לולאות בדיאגרמה, נדרש אינטגרל על פני התנע של החלקיקים המדומים בלולאה, ותוצאת האינטגרל היא לרוב אינסופית.

את האינסוף ניתן לכמת, על ידי רגולריזציה (עליה מורחב בהמשך), כלומר הכנסת גודל לא פיזיקלי, שהוא הרגולטור, אשר מחליף את אחד מהגדלים באינטגרל כך שהאינטגרל סופי, ובגבול הפיזיקלי (ערכו האמיתי) של הרגולטור האינטגרל שווה לערכו המקורי, לאינסוף. הרגולטור הנפוץ ביותר הוא הממד, שבמציאות הוא 4 - תורת השדות מחשבת גדלים במרחב-זמן ה-4 ממדי, אך ניתן לחשב את הדיאגרמות עם ממד d כללי. אחרי החלפת הממד ל-d, חישוב של לולאה אחת מכיל איברים יחסיים ל- $\ 1/(d-4)$ , אשר בגבול $d\rightarrow 4$ שואפים לאינסוף.

רנורמליזציה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

תהליך הרנורמליזציה הוא שיטה מסוימת שהופכת גודל (אמפליטודה) שתלוי ברגולטור ושואף לאינסוף בערך הפיזיקלי של אותו רגולטור, לגודל סופי שאינו תלוי ישירות ברגולטור. סכמות רנורמליזציה נפוצות:

סכמת החיסור המינימלי (Minimal subtraction scheme, MS-bar, $\ {\overline {MS}}$ ) היא הנפוצה ביותר עבור דיאגרמות פיינמן ורגולריזציה ממדית. בשיטה זו יוצרים איברי-נגד (counterterms) בפעולה שמחסרים מהתוצאה בדיוק את החלקים שמתבדרים עם $\ 1/(d-4)$ . התוצאה תהיה תלויה בפולינום של $\ (d-4)$ , שכל איבריו מלבד הראשון מתאפסים כאשר מוסר הרגולטור באמצעות: $\ d=4$ . האינסופים בתורה הנורמלית "מוחבאים" באיברי הנגד.
RI/MOM ‏(Regularization Independent MOMent scheme) - שיטה בה משווים את תוצאת החישוב (מסדר ראשון בתורת ההפרעות או תוצאה לא הפרעתית, סריג) לתוצאה מסדר אפס (סדר-עץ) בתורת ההפרעות, באנרגיה מסוימת, כפול קבוע רנורמליזציה. תוצאת סדר אפס היא סופית תמיד, וכך כפל בקבוע (שהוא עצמו תלוי ברגולריזטור, ואינסופי בערכו הפיזיקלי) יוצרת גודל שהוא סופי ואינו תלוי ברגולריזטור. האינסופים בתורה הנורמלית "מתחבאים" בקבוע הרנורמליזציה.