תורת ההפרעות

תורת ההפרעות היא שיטה מתמטית לפתרון מקורב של בעיות. בפיזיקה משתמשים בה בהרחבה, בגלל מיעוט הבעיות שניתן לפתור בצורה מדויקת. שיטה זו משמשת כאשר ידוע פתרון מדויק למשוואות, ורוצים למצוא פתרון אחר, קרוב אליו. הפרעה היא הסטייה מהפתרון המדויק. במובן מסוים השיטה הזו הינה הכללה של פיתוח לטור טיילור.

דוגמה פשוטה היא תיאור מצבם של פני המים בשלולית: המים בשלולית יכולים להיות במצב נייח, בו פני המים אחידים. זהו פתרון מדויק למשוואות המתארות את מצבם. אך פני המים יכולים גם לנוע, אם נוצרים בהם גלים. אם הגלים קטנים יחסית, אפשר להתייחס אליהם כהפרעות, כלומר סטיות קטנות מהמצב בו פני המים אחידים. בצורה כזו קל יחסית לפתור כיצד יתקדמו הגלים במים, ולקבל קירוב טוב (כלומר, תיאור מדויק יחסית) למצבם של פני המים.

הרעיון העומד מאחורי תורת ההפרעות הוא שאף על פי שישנם בעיות מתמטיות שקשה מאד או אי אפשר לפותרם במדויק, בכל זאת ניתן למצוא מידע חשוב אודות פתרון הבעיה על ידי שימוש בהנחות מפשטות, ואז לחקור סטייה מהנחות אלו על ידי חקירת הפרעה קטנה בפתרון.

דוגמה מתמטית לשימוש בתורת ההפרעות

נקח כדוגמה את המשוואה הבאה:

${\frac {\partial f}{\partial x}}+f-\varepsilon f^{2}=0,f(0)=2$

כאשר הפרמטר $\varepsilon$ מייצג מספר אל-ממדי כלשהו, כגון מספר ריינולדס, אוילר, או פרוד.

במקרה הקיצון, $\varepsilon =0$, המשוואה מתנוונת למשוואה דיפרנציאלית לינארית מסדר ראשון, אותה ניתן לפתור בפשטות.

${\frac {\partial f}{\partial x}}+f=0,f(0)=2$

$f=Ce^{-x}=2e^{-x}$

זהו הפתרון של בעיית הקיצון. ברוב המקרים פתרון של בעיות קיצון אינם פיזיקליים. לדוגמה, אם בדוגמה זו $\varepsilon$ מייצג את מספר ריינולדס, הוא יכול להיות מספר מאד קטן אך אינו יכול להשתוות לאפס. היות שכך, יש צורך לחקור את המקרה בו $\varepsilon$ קטן מאד אך אינו אפס. נגדיר, אם כן:

$f=f_{0}+\varepsilon f_{1}+{\varepsilon }^{2}f_{2}$

תנאי השפה המתאים הוא:

$f(0)=2\cdot \varepsilon ^{0}+0\cdot \varepsilon ^{1}+0\cdot {\varepsilon }^{2}$

הצבת הביטוי עבור $f$ במשוואה לעיל נותן:

$f={\frac {\partial f_{0}}{\partial x}}+\varepsilon {\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}+\varepsilon ^{2}{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}+f_{0}+\varepsilon f_{1}+\varepsilon ^{2}f_{2}-\varepsilon (f_{0}+\varepsilon f_{1}+\varepsilon ^{2}f_{2})^{2}=0$

ניתן עתה להפריד בין הסדרים השונים של המשוואה כדהלן:

$O(1):{\frac {\partial f_{0}}{\partial x}}+f_{0}=0,f_{0}(0)=2$

סדר זה נקרא הסדר המוביל, והוא מדויק מסדר ראשון. חיסורו מהמשוואה לעיל ייתן את הסדרים הבאים, שהם סדר $\varepsilon$ וסדר $\varepsilon ^{2}$, בהתאמה.

$O(\varepsilon ):{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}+f_{1}-{f_{0}}^{2}=0,f_{1}(0)=0$

$O({\varepsilon }^{2}):{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}+f_{2}-f_{0}f_{1}=0,f_{2}(0)=0$

ניתן לפתור בהדרגה את המערכת לעיל, שהיא בעצם מערכת משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון. פתרון המשוואה הראשונה, כאמור: $f_{0}=2e^{-x}+O(\varepsilon )$ כלומר ששגיאת הקיטוע היא מסדר $\varepsilon$. הצבה של פתרון זה במשוואה מסדר $\varepsilon$ יתן $f_{1}=4e^{-x}-4e^{-2x}+O(\varepsilon ^{2})$, וכן הלאה, כאשר בכל פעם ניתן לקבל פתרון מדויק יותר.

דוגמה פיזיקלית - יציבות מודית בבעיית חום

בעזרת תורת ההפרעות ניתן לבצע אנליזה לבעיית חום חד ממדית פשוטה בתחום $0<x<l$:

${\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}=c{\frac {\partial T}{\partial t}}$

כאשר T מייצג את הטמפרטורה ו-c מייצג קבוע דיפוזיה של חום. תנאי השפה וההתחלה הם:

$f(x=0,t)=f(x=l,t)=f(0<x<l,t=0)=1$

במקרה זה, הפתרון של המשוואה פשוט ביותר: $f=1$, כלומר שהטמפרטורה נותרת קבועה בכל המישור ואין שינוי בטמפרטורה עם הזמן. עתה ניתן לחקור מה יקרה אם תתווסף הפרעה קטנה לבעיה. ההפרעה תהא מהצורה $T'=sin(\pi {\frac {nx}{l}})e^{-\sigma t}$ והפתרון של הבעיה ללא ההפרעה יסומן ב-$T_{0}=1$. $\sigma$ מייצג את קצב הדעיכה של ההפרעה. ניתן להגדיר כי הפתרון יהיה מהצורה:

$T=T_{0}+\varepsilon T'=T_{0}+\varepsilon sin(\pi {\frac {nx}{l}})e^{-\sigma t}$

כאשר $\varepsilon$ הוא מספר קטן מאד מאחד, על מנת לשמור על הפרעה קטנה. ניתן להציב פתרון זה בבעיית החום ולקבל:

${\frac {\partial ^{2}T_{0}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}T'}{\partial x^{2}}}=c{\frac {\partial T_{0}}{\partial t}}+c{\frac {\partial T'}{\partial t}}$

מכיוון ש-$T_{0}$ קבוע, הנגזרות שלו מתאפסות ונותר רק:

$-{\frac {\varepsilon n^{2}\pi ^{2}}{l^{2}}}sin(\pi {\frac {nx}{l}})e^{-\sigma t}=\varepsilon c(-\sigma )sin(\pi {\frac {nx}{l}})e^{-\sigma t}$

ועל ידי צמצום וחלוקה ב-c ניתן לחלץ את פרמטר הדעיכה:

$\sigma =-{\frac {\varepsilon n^{2}\pi ^{2}}{cl^{2}}}$

למעשה ניתן להסיק מסוג ההפרעה שנכנס את זמן הדעיכה האופייני שלה, כתלות בפרמטרים של הבעיה.

ראו גם

• תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן
• תורת ההפרעות התלויה בזמן

ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.