תורת ההפרעות

תורת ההפרעות היא שיטה מתמטית לפתרון מקורב של בעיות. בפיזיקה משתמשים בה בהרחבה, בגלל מיעוט הבעיות שניתן לפתור בצורה מדויקת. שיטה זו משמשת כאשר ידוע פתרון מדויק למשוואות, ורוצים למצוא פתרון אחר, קרוב אליו. הפרעה היא הסטייה מהפתרון המדויק. במובן מסוים השיטה הזו הינה הכללה של פיתוח לטור טיילור.

דוגמה פשוטה היא תיאור מצבם של פני המים בשלולית: המים בשלולית יכולים להיות במצב נייח, בו פני המים אחידים. זהו פתרון מדויק למשוואות המתארות את מצבם. אך פני המים יכולים גם לנוע, אם נוצרים בהם גלים. אם הגלים קטנים יחסית, אפשר להתייחס אליהם כהפרעות, כלומר סטיות קטנות מהמצב בו פני המים אחידים. בצורה כזו קל יחסית לפתור כיצד יתקדמו הגלים במים, ולקבל קירוב טוב (כלומר, תיאור מדויק יחסית) למצבם של פני המים.

הרעיון העומד מאחורי תורת ההפרעות הוא שאף על פי שישנם בעיות מתמטיות שקשה מאד או אי אפשר לפותרם במדויק, בכל זאת ניתן למצוא מידע חשוב אודות פתרון הבעיה על ידי שימוש בהנחות מפשטות, ואז לחקור סטייה מהנחות אלו על ידי חקירת הפרעה קטנה בפתרון.

דוגמה מתמטית לשימוש בתורת ההפרעות

נקח כדוגמה את המשוואה הבאה:

${\frac {\partial f}{\partial x}}+f-\varepsilon f^{2}=0,f(0)=2$

כאשר הפרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon } מייצג מספר אל-ממדי כלשהו, כגון מספר ריינולדס, אוילר, או פרוד.

במקרה הקיצון, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon = 0 } , המשוואה מתנוונת למשוואה דיפרנציאלית לינארית מסדר ראשון, אותה ניתן לפתור בפשטות.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} + f = 0, f(0) = 2 }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f = Ce^{-x} = 2e^{-x} }

זהו הפתרון של בעיית הקיצון. ברוב המקרים פתרון של בעיות קיצון אינם פיזיקליים. לדוגמה, אם בדוגמה זו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon } מייצג את מספר ריינולדס, הוא יכול להיות מספר מאד קטן אך אינו יכול להשתוות לאפס. היות שכך, יש צורך לחקור את המקרה בו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon } קטן מאד אך אינו אפס. נגדיר, אם כן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f = f_0 + \varepsilon f_1 + {\varepsilon}^2 f_2}

תנאי השפה המתאים הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(0) = 2\cdot \varepsilon^0 + 0\cdot \varepsilon^1 + 0\cdot {\varepsilon}^2 }

הצבת הביטוי עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} במשוואה לעיל נותן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f = \frac{\partial f_0}{\partial x} + \varepsilon \frac{\partial f_1}{\partial x} + \varepsilon^2 \frac{\partial f_2}{\partial x} + f_0 + \varepsilon f_1 +\varepsilon^2 f_2 - \varepsilon (f_0 + \varepsilon f_1 +\varepsilon^2 f_2 )^2 = 0}

ניתן עתה להפריד בין הסדרים השונים של המשוואה כדהלן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O(1): \frac{\partial f_0}{\partial x} + f_0 = 0, f_0(0) = 2 }

סדר זה נקרא הסדר המוביל, והוא מדויק מסדר ראשון. חיסורו מהמשוואה לעיל ייתן את הסדרים הבאים, שהם סדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon } וסדר הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \varepsilon ^{2}} , בהתאמה.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O(\varepsilon): \frac{\partial f_1}{\partial x} + f_1 - {f_0}^2 = 0, f_1(0) = 0 }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O({\varepsilon}^2): \frac{\partial f_2}{\partial x} + f_2 - f_{0}f_1 = 0, f_2(0) = 0 }

ניתן לפתור בהדרגה את המערכת לעיל, שהיא בעצם מערכת משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון. פתרון המשוואה הראשונה, כאמור: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_0 = 2e^{-x} + O(\varepsilon) } כלומר ששגיאת הקיטוע היא מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon } . הצבה של פתרון זה במשוואה מסדר $\varepsilon$ יתן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 = 4e^{-x} - 4e^{-2x} + O(\varepsilon^2) } , וכן הלאה, כאשר בכל פעם ניתן לקבל פתרון מדויק יותר.

דוגמה פיזיקלית - יציבות מודית בבעיית חום

בעזרת תורת ההפרעות ניתן לבצע אנליזה לבעיית חום חד ממדית פשוטה בתחום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0<x<l } :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = c \frac{\partial T}{\partial t} }

כאשר T מייצג את הטמפרטורה ו-c מייצג קבוע דיפוזיה של חום. תנאי השפה וההתחלה הם:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x=0,t)=f(x=l,t)=f(0<x<l,t=0)=1 }

במקרה זה, הפתרון של המשוואה פשוט ביותר: $f=1$, כלומר שהטמפרטורה נותרת קבועה בכל המישור ואין שינוי בטמפרטורה עם הזמן. עתה ניתן לחקור מה יקרה אם תתווסף הפרעה קטנה לבעיה. ההפרעה תהא מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T' = sin(\pi \frac{nx}{l})e^{-\sigma t} } והפתרון של הבעיה ללא ההפרעה יסומן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_0 = 1 } . הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma } מייצג את קצב הדעיכה של ההפרעה. ניתן להגדיר כי הפתרון יהיה מהצורה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T =T_0 +\varepsilon T' = T_0+\varepsilon sin(\pi \frac{nx}{l})e^{-\sigma t} }

כאשר $\varepsilon$ הוא מספר קטן מאד מאחד, על מנת לשמור על הפרעה קטנה. ניתן להציב פתרון זה בבעיית החום ולקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 T_0}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 T'}{\partial x^2} = c \frac{\partial T_0}{\partial t} + c \frac{\partial T'}{\partial t} }

מכיוון ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_0 } קבוע, הנגזרות שלו מתאפסות ונותר רק:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{\varepsilon n^2 \pi^2}{l^2} sin(\pi \frac{nx}{l})e^{-\sigma t} = \varepsilon c(-\sigma) sin(\pi \frac{nx}{l})e^{-\sigma t} }

ועל ידי צמצום וחלוקה ב-c ניתן לחלץ את פרמטר הדעיכה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma =-\frac{\varepsilon n^2 \pi^2}{cl^2} }

למעשה ניתן להסיק מסוג ההפרעה שנכנס את זמן הדעיכה האופייני שלה, כתלות בפרמטרים של הבעיה.

ראו גם

• תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן
• תורת ההפרעות התלויה בזמן

ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.