משפט בוהר-מולרופ
באנליזה מתמטית, משפט בוהר מולורופ הוא משפט המאפיין את פונקציית גמא באמצעות משוואה פונקציונלית. המשפט קרוי על שם הראלד בוהר ויוהאן מולורופ שהוכיחו אותו.
לפי המשפט, פונקציית גמא היא הפונקציה הלוג-קמורה היחידה שמקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x+1)=xf(x)} לכל x>0 וכן מקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(1)=1} .
הוכחה
ראשית נבחין שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-t}\,dt=1} . כמו כן מאינטגרציה בחלקים נקבל כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)} .
על מנת להראות שפונקציית גאמא היא לוג קמורה נקבע קבועים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0<\delta<\Delta} . מאי שוויון קושי שוורץ נקבל:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {(\int_{\delta}^{\Delta}{t^{{x+y-2} \over {2}}e^{-t}dt})}^2={(\int_{\delta}^{\Delta}{(t^{{x-1} \over {2}}e^{{-t}\over{2}})(t^{{y-1} \over {2}}e^{{-t}\over{2}})dt})}^2 \leq {\int_{\delta}^{\Delta}{t^{x-1}e^{-t}dt}\int_{\delta}^{\Delta}{t^{y-1}e^{-t}dt}}}
כאשר נשאיף בנוסחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta \rightarrow 0,\Delta \rightarrow \infty} נקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Gamma^2({{x+y}\over{2}}) \leq \Gamma(x)\Gamma(y)} .
נוציא לוג ונקבל כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(\Gamma({{x+y}\over{2}})) \leq {{1}\over{2}}\ln(\Gamma(x)) + {{1}\over{2}}\ln(\Gamma(y))} וקיבלנו בסה"כ שפונקציית גאמא היא לוג קמורה.
בכיוון השני, תהי f פונקציה המקיימת את הדרישות של המשפט. נוכיח שהיא יחידה.
מהדרישה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x+1) = xf(x)} נקבל באינדוקציה כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x+n) = (x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)xf(x)} . בפרט לכל n טבעי נקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(n)=(n-1)!} (כי נתון ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(1) = 1} ).
נסמן ב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(x,y)} את שיפוע הקו המחבר בין הנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x,\ln(f(x))),(y,\ln(f(y)))} . לפי ההנחה f לוג קמורה, ולכן S היא עולה בכל אחד משני המשתנים עבור x<y. לכן לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 < x \leq 1} ולכל n מס טבעי נקבל:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(n-1,n)\leq S(n,n+x) \leq S(n,n+1) } .
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\ln(f(n))-\ln(f(n-1))}{n-(n-1)} \leq \frac{\ln(f(n))-\ln(f(n+x))}{n-(n+x)} \leq \frac{\ln(f(n))-\ln(f(n+1))}{n-(n+1)}}
נציב את הערך של f למספרים טבעיים:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\ln((n-1)!) - \ln((n-2)!)}{1} \leq \frac{\ln(f(n+x)) - \ln((n-1)!)}{x} \leq \frac{\ln((n)!) - \ln((n-1)!)}{1}}
לאחר חישוב מקבלים:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln{({(n-1)}^x(n-1)!)} \leq \ln{(f(n+x))} \leq \ln{({n}^x(n-1)!)}}
ln היא פונקציה עולה לכן נוכל לבצע אקספוננט ולקבל:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {(n-1)}^x(n-1)! \leq f(n+x) \leq {n}^x(n-1)!}
נציב את הביטוי שקיבלנו עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(n+x)} ונקבל:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {(n-1)}^x(n-1)! \leq (x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)xf(x) \leq {n}^x(n-1)!}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{{(n-1)}^x(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x} \leq f(x) \leq \frac{{n}^x(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{{(n-1)}^x(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x} \leq f(x) \leq \frac{{n}^x n!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}(\frac{x+n}{n})}
נשים לב כעת ששני האי שוויונים נכונים לכל ערך של n. בפרט הם נכונים גם עבור n+1 לכן אם נחליף באי שוויון השמאלי את n ב n+1 האי שוויונות יישארו נכונים ונקבל:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{{n}^xn!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x} \leq f(x) \leq \frac{{n}^x n!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}(\frac{x+n}{n})}
נשאיף את n לאינסוף. מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {x+n}{n} \rightarrow 1 } ולכן הגבול של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{{n}^xn!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x} } חסום משני הצדדים על ידי סדרה ששואפת ל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} וממשפט הסנדוויץ' מתכנס אליו.
הואיל והגבול הוא יחיד, f מוגדרת ביחידות לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 < x \leq 1} . אבל מהדרישה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x+1) = xf(x)} רואים שאפשר להרחיב את f באופן יחיד לכל x>1. לכן יש f יחידה כזאת ונסיים.
תוצאות נוספות
המתמטיקאי Wielandt[1] הוכיח כי פונקציית גאמא היא הפונקציה ההולומורפית בחצי המישור הימני היחידה שמקיימת את הדרישות לעיל כאשר במקום הלוג-קמירות דורשים חסימות ברצועה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 \leq \real(z) <2} .
קישורים חיצוניים
המשפט באתר האנציקלופדיה למתמטיקה, Springer :
- משפט בוהר-מולרופ, באתר MathWorld (באנגלית)
https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Bohr-Mollerup_theorem
המשפט באתר MathWorld:
http://mathworld.wolfram.com/Bohr-MollerupTheorem.html
מספר הוכחות ללוג קמירות של פונקציית גאמא ניתן לראות באתר ProofWiki:
https://proofwiki.org/wiki/Log_of_Gamma_Function_is_Convex_on_Positive_Reals
הערות שוליים
- ↑ Reinhold Remmert, Wielandt's Theorem About the Γ-Function, The American Mathematical Monthly Vol. 103, No. 3 (Mar., 1996), pp. 214-220 (7 pages)
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] משפט בוהר-מולרופ29776013