תמונה (תורת הקטגוריות)

בתורת הקטגוריות, תמונה של מורפיזם היא מורפיזם בעל תכונות מסוימות (אם קיים כזה), המכליל את מושג התמונה של פונקציה.

בקטגוריה C, מונומורפיזם $ h:I\to Y $ הוא תמונה של המורפיזם $ f:X\to Y $, אם:

1. קיים מורפיזם $ g:X\to I $ כך ש f=hg.
2. לכל אובייקט Z ולכל מורפיזם $ k:X\to Z $ ומונומורפיזם $ l:Z\to Y $ כך ש f=lk קיים מורפיזם יחיד $ m:I\to Z $ כך ש k=mg ו h=lm.

מן התכונה השנייה, הנקראת "אוניברסליות", נובע שאם התמונה קיימת אז היא יחידה עד כדי איזומורפיזם.

התמונה של f מסומנת לעיתים קרובות ב-$ \mathrm {Im} (f) $.

דוגמאות

בקטגוריה של קבוצות התמונה של מורפיזם $ f:X\to Y $ היא ההכלה של התמונה $ \{f(x)|x\in X\} $ לתוך Y. בקטגוריות רבות, כגון הקטגוריה של חבורות, הקטגוריה של חבורות אבליות והקטגוריה של מודולים התמונה של מורפיזם היא התמונה של המורפיזם המתאים בקטגוריה של קבוצות (לאחר הפעלת הפונקטור השוכח).