קוואזי-חבורה
באלגברה מופשטת, קוואזי-חבורה (מאנגלית: Quasigroup) הנה מבנה אלגברי דומה לחבורה, בה לא נדרשים אסוציאטיביות וקיום איבר יחידה. על כן, התכונה הנדרשת בקוואזי-חבורה הנה חילוק (משמאל ומימין) של כל איבריה. מדובר במבנים כלליים יותר מחבורות, להם מבנה עשיר ומסובך יותר. לולאה (loop) הנה קוואזי-חבורה עם יחידה.
כל קוואזי-חבורה איזוטופית ללואה, אך לא בהכרח איזומורפית אליה. כל לולאה שאיזוטופית לחבורה היא גם איזומורפית אליה. לקוואזי-חבורות יש גם קשר לריבועים לטיניים - לוח הכפל של קוואזי-חבורה הנו ריבוע לטיני, וכל ריבוע לטיני מהווה לוח כפל של קוואזי-חבורה כלשהי.
הגדרה
קבוצה Q עם פעולה בינארית $ \cdot $ נקראת קוואזי-חבורה אם כל איברי הקבוצה הפיכים ביחס לפעולה מימין ומשמאל. דהיינו, לכל $ a,b\in Q $ קיימים ויחידים פתרונות למשוואות $ a\cdot x=b,\quad y\cdot a=b $. פתרונות אלו מסומנים כ-$ x=a/b,\quad y=a\setminus b $.
בכל קוואזי-חבורה מתקיימות אם כן הזהויות הבאות: $ x\cdot (x/y)=x\setminus (x\cdot y)=y,\quad (x/y)\cdot y=(x\cdot y)/y=x $. מנגד, זהויות אלו מאפשרות להגדיר קוואזי-חבורה: קבוצה Q עם שלוש פעולות בינאריות $ (\cdot ,/,\setminus ) $ אשר איבריה מקיימים את הזהויות לעיל היא קוואזי-חבורה.
דרך נוספת להגדיר קוואזי-חבורה היא בעזרת ריבועים לטיניים: זהו ריבוע בגודל nXn בו מסודרים n איברים בשורות ובעמודות, כך שכל איבר מופיע פעם אחת בדיוק בכל שורה ועמודה. קל לראות שכל ריבוע כזה מהווה לוח כפל של קוואזי-חבורה, ושלוח הכפל של כל קוואזי-חבורה הוא ריבוע לטיני (כאשר משמיטים את עמודות האיברים המוכפלים).
קוואזי-חבורה עם איבר יחידה, היינו איבר $ e\in Q $ המקיים $ xe=ex=x $, נקראת לולאה.
איזוטופיה
שתי קוואזי-חבורות $ Q,Q' $ נקראת איזוטופיות אם קיימות שלוש העתקות הפיכות $ \alpha ,\beta ,\gamma :Q\to Q' $ כך ש-$ \gamma (a\cdot b)=\alpha (a)\cdot \beta (b) $ (הכפל בקוואזי-חבורות Q ו-'Q בהתאמה). ברמת הריבועים הלטיניים, איזוטופיה פירושה התמרת שורות ועמודות הריבוע. במקרה 'Q=Q, ההעתקות כלעיל נקראות אוטוטופיה; קבוצת האוטוטופיות של קוואזי-חבורה נתונה היא חבורה ביחס לפעולת ההרכבה.
כל קוואזי-חבורה איזוטופית ללולאה: מתקיים $ Q\sim Q(\circ ) $, כאשר $ Q(\circ ) $ היא הלולאה הנבנית מבחירת שני איברים $ a,b\in Q $ והגדרת הפעולה $ \circ $ על אותה הקבוצה Q, כך שמתקיים $ x\cdot y=xb\circ ay $. האיזוטופיה נתונה אם כן על ידי $ (R_{b},L_{a},\operatorname {id} ) $.
מונח האיזוטופיה מאבד משמעות כאשר מדובר בחבורה - שתי חבורות איזוטופיות הן גם איזומורפיות, לפי משפט שהוכיח אלברט. ביתר כלליות, אם לולאה איזוטופית לחבורה, היא גם איזומורפית אליה.
דוגמאות
- קבוצת המספרים השלמים יחד עם פעולת החיסור היא קוואזי-חבורה.
- קבוצת הרציונליים וקבוצת הממשיים השונים מאפס עם פעולת החילוק הן קוואזי-חבורות.
- קבוצת האוקטוניונים השונים מאפס יחד עם פעולת הכפל היא לולאה. האוקטוניונים מהווים לולאת מופן.
- קבוצת האיברים ההפיכים בכל אלגברה לא אסוציאטיבית מהווים קוואזי-חבורה. אם לאלגברה יש יחידה, קוואזי-חבורה זו הנה גם לולאה.
ראו גם
לקריאה נוספת
- Bruck, R.H. (1971). A Survey of Binary Systems.
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] קוואזי-חבורה24463363