קוהומולוגיית הוכשילד
במתמטיקה, הומולוגיית הוכשילד היא תורת הומולוגיה עבור אלגברות אסוציאטיביות. המבנה הוגדר על ידי גרהרד הוכשילד (Gerhard Hochschild) ב-1945 עבור אלגברות מעל שדה, והוכלל לאלגברות מעל חוגים כלליים יותר על ידי אנרי קרטן וסמואל איילנברג (1956). ב-1962 הראה מארי גרסטנהבר (Murray Gerstenhaber) כיצד לפרש את הקוהומולוגיה במונחים של דפורמציות.
הגדרה
תהי A אלגברה אסוציאטיבית מעל שדה k. קוהומולוגיית הוכשילד של בי-מודול M מעל A (מימין ומשמאל) היא סדרה $ \ \operatorname {\operatorname {HH} } ^{n}(A,M) $ של מרחבים וקטוריים מעל k, המקודדים תכונות יסודיות של A ושל M.
אפשר להגדיר את מרחבי ההומולוגיה והקוהומולוגיה באמצעות הפונקטורים הנגזרים Tor ו-Ext, כדלקמן: $ \operatorname {HH} _{n}(A,M)=\operatorname {Tor} _{n}^{A^{e}}(A,M) $ ו- $ \operatorname {HH} ^{n}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A^{e}}^{n}(A,M) $, כאשר $ A^{e}=A\otimes A^{op} $. להלן נציג הגדרה מפורשת.
הרזולוציה החופשית
האלגברה A היא בי-מודול מעל עצמה. כל חזקה טנזורית $ \ A^{\otimes n}=A\otimes _{k}\cdots \otimes _{k}A $ היא בי-מודול מעל A, לפי הפעולה על הגורמים בקצוות. קומפלקס הוכשילד הוא הקומפלקס $ \ \cdots {\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}A^{\otimes 3}{\stackrel {d_{0}}{\longrightarrow }}A^{\otimes 2}{\stackrel {\mu }{\longrightarrow }}A\longrightarrow 0 $, שהדיפרנציאלים שלו מוגדרים לפי $ \ d(a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{n+2})=\sum _{i=0}^{n+1}(-1)^{i}a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n+2} $; כאן $ \ \mu $ היא פעולת הכפל. זוהי רזולוציה חופשית של A. משפט כללי באלגברה הומולוגית מראה שההגדרה של מרחבי הקומוהולוגיה אינה תלויה ברזולוציה (היינו אפשר היה לבחור רזולוציה פרויקטיבית כלשהי).
קומפלקס הקו-שרשרת
כעת יהי M בי-מודול מעל A-A. הקוהומולוגיה ביחס ל-M מתקבלת על ידי הפעלת הפונקטור $ \ \operatorname {Hom} _{A-A}(-,M) $ על הרזולוציה שניתנה לעיל. לשם כך נוח לזהות $ \operatorname {Hom} _{A-A}(A^{\otimes n+2},M)=\operatorname {Hom} _{k}(A,M) $. קומפלקס הקו-שרשרת המתאים ל-M הוא $ \operatorname {Hom} _{k}(k,M){\stackrel {\delta _{0}}{\longrightarrow }}\operatorname {Hom} _{k}(A,M){\stackrel {\delta _{1}}{\longrightarrow }}\operatorname {Hom} _{k}(A\otimes A,M){\longrightarrow }\cdots $, כאשר $ \ (\delta _{n-1}f)(a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})=a_{1}f(a_{2}\otimes \cdots \otimes a_{n})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}f(a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n})+(-1)^{n+1}f(a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n-1})a_{n} $.
הקומוהולוגיה
מכיוון ש-$ \ d^{2}=0 $ מתקיים גם $ \delta ^{2}=0 $, ולכן $ \operatorname {im} \delta _{n-1}\subseteq \operatorname {ker} \delta _{n} $. בהתאם לכך, מגדירים את מרחבי הקוהומולוגיה (עבור $ \ n\geq 0 $) כמנות $ \operatorname {HH} ^{n}(A,M)=\operatorname {ker} \delta _{n}/\operatorname {im} \delta _{n-1} $, כאשר $ \delta _{-1}=0 $.
הממד
אם M בימודול אינג'קטיבי, אז $ \ \operatorname {HH} ^{n}(A,M)=0 $ לכל $ \ n\geq 1 $. אם A אלגברה ספרבילית (כלומר, A פרויקטיבי כבי-מודול מעל A-A), אז $ \ \operatorname {HH} ^{n}(A,M)=0 $ לכל $ \ n\geq 1 $ ולכל בי-מודול M. הממד של A מוגדר כ-n הגדול ביותר שעבורו $ \ \operatorname {HH} ^{n}(A,M)\neq 0 $ למודול כלשהו (או אינסוף אם אין כזה n). אם כך, הממד של אלגברה ספרבילית הוא אפס. גם הכיוון ההפוך נכון: לאלגברה יש ממד 0 אם ורק אם היא ספרבילית. אלגברה מממד אחד נקראת חופשית למחצה, או חלקה פורמלית בקטגוריה של אלגברות לא-קומוטטיביות.
מרחבי הקוהומולוגיה הראשונים
לפי ההגדרה, $ \ \operatorname {HH} ^{0}(A,M)=\{m\in M\,:\,am=ma\ (\forall a\in A)\} $ (ה"מרכז" של M).
נגזרות
הגרעין של $ \ \delta _{1} $ הוא אוסף הנגזרות הפורמליות $ \ A\rightarrow M $, בעוד שתמונת $ \ \delta _{0} $ כוללת את הנגזרות הפנימיות, $ a\mapsto [a,m] $. אם כך, $ \ \operatorname {HH} ^{1}(A,M)=0 $ אם ורק אם כל נגזרת היא פנימית. כמו במקרה של קוהומולוגיית חבורות, המרחב $ \ \operatorname {HH} ^{1}(A,M) $ ממיין את המשלימים של M במכפלה הישרה למחצה $ \ A\ltimes M=\left\{\left({\begin{array}{cc}a&m\\0&a\end{array}}\right)\right\} $ שהם איזומורפיים ל-A, עד כדי הצמדה באיברים מהצורה $ \left({\begin{array}{cc}1&m\\0&1\end{array}}\right) $.
הרחבות
הרחבה של A על ידי M היא אלגברה B המכילה את M כאידיאל כך ש-$ \ M^{2}=0 $ ו-$ \ B/M\cong A $, כאשר פעולת A על M (מימין ומשמאל) מתלכדת עם המבנה של M כבי-מודול. שתי הרחבות הן שקולות אם יש איזומורפיזם ביניהן המשרה את הזהות על M ועל A. שוב כמו במקרה של קוהומולוגיית חבורות, המרחב $ \ \operatorname {HH} ^{2}(A,M) $ ממיין את ההרחבות של A על ידי M עד כדי שקילות; לכן $ \ \operatorname {HH} ^{2}(A,M)=0 $ אם ורק אם כל הרחבה מתפצלת (כלומר שקולה למכפלה הישרה למחצה).
דפורמציות
תהי A אלגברה אסוציאטיבית. דפורמציה של A היא פעולת כפל אסוציאטיבית * של המרחב $ \ A[[t]]=\sum _{n=0}^{\infty }At^{n} $, המסכימה עם פעולת הכפל של A כאשר מציבים t=0, כלומר $ \ a*b=ab+F_{1}(a,b)t+F_{2}(a,b)t^{2}+\cdots $. שתי דפורמציות הן שקולות אם יש איזומורפיזם ביניהן המשרה את הזהות כאשר מציבים t=0. מתברר שאם $ \ \operatorname {HH} ^{2}(A,A)=0 $ אז כל הדפורמציות טריוויאליות (כלומר, שקולות לפעולת הכפל הרגילה על $ A[[t]] $). חישוב מראה שהרכיב $ \ F_{1} $ לעיל הוא 2-קוציקלוס (כלומר, שייך לגרעין של $ \delta _{2} $), ולכן קובע מחלקה ב-$ \operatorname {HH} ^{2}(A,A) $. איבר כזה נקרא אינטגרבילי אם אפשר להמשיך אותו לדפורמציה של A. מתברר שאם $ \ \operatorname {HH} ^{3}(A,A)=0 $ אז כל 2-קוציקלוס הוא אינטגרבילי (גרסטנהבר).
קישורים חיצוניים
- Hochschild cohomology in nLab
- Sarah Witherspoon, Hochschild Cohomology, Notices of the AMS, June/July 2020
- Richard Melrose, Hochschild homology, MIT
- Topological Hochschild homology in arithmetic geometry
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] קוהומולוגיית הוכשילד31251100