קוהומולוגיית הוכשילד

במתמטיקה, הומולוגיית הוכשילד היא תורת הומולוגיה עבור אלגברות אסוציאטיביות. המבנה הוגדר על ידי גרהרד הוכשילד (Gerhard Hochschild) ב-1945 עבור אלגברות מעל שדה, והוכלל לאלגברות מעל חוגים כלליים יותר על ידי אנרי קרטן וסמואל איילנברג (1956). ב-1962 הראה מארי גרסטנהבר (Murray Gerstenhaber) כיצד לפרש את הקוהומולוגיה במונחים של דפורמציות.

הגדרה

תהי A אלגברה אסוציאטיבית מעל שדה k. קוהומולוגיית הוכשילד של בי-מודול M מעל A (מימין ומשמאל) היא סדרה ${\mathrm{HH}}^n(A,M)$ של מרחבים וקטוריים מעל k, המקודדים תכונות יסודיות של A ושל M.

אפשר להגדיר את מרחבי ההומולוגיה והקוהומולוגיה באמצעות הפונקטורים הנגזרים Tor ו-Ext, כדלקמן: ${\mathrm{HH}}_n(A,M)={\mathrm{Tor}}_n^{A^e}(A,M)$ ו- ${\mathrm{HH}}^n(A,M)={\mathrm{Ext}}_{A^e}^n(A,M)$, כאשר $A^e=A\otimes A^{op}$. להלן נציג הגדרה מפורשת.

הרזולוציה החופשית

האלגברה A היא בי-מודול מעל עצמה. כל חזקה טנזורית $A^{\otimes n}=A{\otimes }_k\cdots {\otimes }_{k}A$ היא בי-מודול מעל A, לפי הפעולה על הגורמים בקצוות. קומפלקס הוכשילד הוא הקומפלקס $\cdots \stackrel{d_1}{⟶}{A}^{\otimes 3}\stackrel{d_0}{⟶}{A}^{\otimes 2}\stackrel{\mu }{⟶}A⟶0$, שהדיפרנציאלים שלו מוגדרים לפי $d(a_0\otimes \cdots \otimes a_{n+2})=\sum _{i=0}^{n+1}(-1{)}^i{a}_0\otimes \cdots \otimes a_i{a}_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n+2}$; כאן $\mu$ היא פעולת הכפל. זוהי רזולוציה חופשית של A. משפט כללי באלגברה הומולוגית מראה שההגדרה של מרחבי הקומוהולוגיה אינה תלויה ברזולוציה (היינו אפשר היה לבחור רזולוציה פרויקטיבית כלשהי).

קומפלקס הקו-שרשרת

כעת יהי M בי-מודול מעל A-A. הקוהומולוגיה ביחס ל-M מתקבלת על ידי הפעלת הפונקטור ${\mathrm{Hom}}_{A-A}(-,M)$ על הרזולוציה שניתנה לעיל. לשם כך נוח לזהות ${\mathrm{Hom}}_{A-A}(A^{\otimes n+2},M)={\mathrm{Hom}}_k(A,M)$. קומפלקס הקו-שרשרת המתאים ל-M הוא ${\mathrm{Hom}}_k(k,M)\stackrel{{\delta }_0}{⟶}{\mathrm{Hom}}_k(A,M)\stackrel{{\delta }_1}{⟶}{\mathrm{Hom}}_k(A\otimes A,M)⟶\cdots$, כאשר $({\delta }_{n-1}f)(a_1\otimes \cdots \otimes a_n)=a_{1}f(a_2\otimes \cdots \otimes a_n)+\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i}f(a_1\otimes \cdots \otimes a_i{a}_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_n)+(-1{)}^{n+1}f(a_1\otimes \cdots \otimes a_{n-1})a_n$.

הקומוהולוגיה

מכיוון ש-$d^2=0$ מתקיים גם ${\delta }^2=0$, ולכן $\mathrm{im}{\delta }_{n-1}\subseteq \ker {\delta }_n$. בהתאם לכך, מגדירים את מרחבי הקוהומולוגיה (עבור $n\ge 0$) כמנות ${\mathrm{HH}}^n(A,M)=\ker {\delta }_n/\mathrm{im}{\delta }_{n-1}$, כאשר ${\delta }_{-1}=0$.

הממד

אם M בימודול אינג'קטיבי, אז ${\mathrm{HH}}^n(A,M)=0$ לכל $n\ge 1$. אם A אלגברה ספרבילית (כלומר, A פרויקטיבי כבי-מודול מעל A-A), אז ${\mathrm{HH}}^n(A,M)=0$ לכל $n\ge 1$ ולכל בי-מודול M. הממד של A מוגדר כ-n הגדול ביותר שעבורו ${\mathrm{HH}}^n(A,M)\ne 0$ למודול כלשהו (או אינסוף אם אין כזה n). אם כך, הממד של אלגברה ספרבילית הוא אפס. גם הכיוון ההפוך נכון: לאלגברה יש ממד 0 אם ורק אם היא ספרבילית. אלגברה מממד אחד נקראת חופשית למחצה, או חלקה פורמלית בקטגוריה של אלגברות לא-קומוטטיביות.

מרחבי הקוהומולוגיה הראשונים

לפי ההגדרה, ${\mathrm{HH}}^0(A,M)=\{m\in M:am=ma(\mathrm{\forall }a\in A)\}$ (ה"מרכז" של M).

נגזרות

הגרעין של ${\delta }_1$ הוא אוסף הנגזרות הפורמליות $A\to M$, בעוד שתמונת ${\delta }_0$ כוללת את הנגזרות הפנימיות, $a\mapsto [a,m]$. אם כך, ${\mathrm{HH}}^1(A,M)=0$ אם ורק אם כל נגזרת היא פנימית. כמו במקרה של קוהומולוגיית חבורות, המרחב ${\mathrm{HH}}^1(A,M)$ ממיין את המשלימים של M במכפלה הישרה למחצה $A⋉M=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& m\\ 0& a\end{array}\right)\right\}$ שהם איזומורפיים ל-A, עד כדי הצמדה באיברים מהצורה $\left(\begin{array}{cc}1& m\\ 0& 1\end{array}\right)$.

הרחבות

הרחבה של A על ידי M היא אלגברה B המכילה את M כאידיאל כך ש-$M^2=0$ ו-$B/M\cong A$, כאשר פעולת A על M (מימין ומשמאל) מתלכדת עם המבנה של M כבי-מודול. שתי הרחבות הן שקולות אם יש איזומורפיזם ביניהן המשרה את הזהות על M ועל A. שוב כמו במקרה של קוהומולוגיית חבורות, המרחב ${\mathrm{HH}}^2(A,M)$ ממיין את ההרחבות של A על ידי M עד כדי שקילות; לכן ${\mathrm{HH}}^2(A,M)=0$ אם ורק אם כל הרחבה מתפצלת (כלומר שקולה למכפלה הישרה למחצה).

דפורמציות

תהי A אלגברה אסוציאטיבית. דפורמציה של A היא פעולת כפל אסוציאטיבית * של המרחב $A[[t]]=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}A{t}^n$, המסכימה עם פעולת הכפל של A כאשר מציבים t=0, כלומר $a*b=ab+F_1(a,b)t+F_2(a,b)t^2+\cdots$. שתי דפורמציות הן שקולות אם יש איזומורפיזם ביניהן המשרה את הזהות כאשר מציבים t=0. מתברר שאם ${\mathrm{HH}}^2(A,A)=0$ אז כל הדפורמציות טריוויאליות (כלומר, שקולות לפעולת הכפל הרגילה על $A[[t]]$). חישוב מראה שהרכיב $F_1$ לעיל הוא 2-קוציקלוס (כלומר, שייך לגרעין של ${\delta }_2$), ולכן קובע מחלקה ב-${\mathrm{HH}}^2(A,A)$. איבר כזה נקרא אינטגרבילי אם אפשר להמשיך אותו לדפורמציה של A. מתברר שאם ${\mathrm{HH}}^3(A,A)=0$ אז כל 2-קוציקלוס הוא אינטגרבילי (גרסטנהבר).

קישורים חיצוניים

• Hochschild cohomology in nLab
• Sarah Witherspoon, Hochschild Cohomology, Notices of the AMS, June/July 2020
• Richard Melrose, Hochschild homology, MIT
• Topological Hochschild homology in arithmetic geometry

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] קוהומולוגיית הוכשילד31251100