אלגברה חופשית למחצה
במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה, אלגברה חופשית למחצה היא אלגברה אסוציאטיבית (לא בהכרח קומוטטיבית) בעלת ממד קוהומולוגי לכל היותר 1. לאלגברות אלו חשיבות גאומטרית, מפני שהן חלקות פורמלית (formally smooth) בקטגוריה של אלגברות לא קומוטטיביות: כל הרחבה שלהן באידיאל נילפוטנטי מתפצלת. המושג הוגדר על ידי Cuntz ו-Quillen ב-1995 כמדד לאי-סינגולריות לא-קומוטטיבית, ונדון מאז בהקשרים שונים.
תהא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} אלגברה אסוציאטיבית עם יחידה (לא בהכרח קומוטטיבית) מעל שדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} . ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} -בימודול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} ניתן להגדיר תורת קוהומולוגייה הנקראת קוהמולוגיית Hochschild: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H^n(A,M) = Ext_{A-bimod}^{n}(A,M)} הממד הקוהומולוגי של אלגברה הוא האינדקס הגבוה ביותר כך שחבורת הקוהומולוגיה מאינדקס זה אינה מתאפסת לכל בימודול.
חשיבות מיוחדת נודעת לחבורת הקוהומולוגיה השנייה, המתארת הרחבות לא מתפצלות. ביתר פירוט, נניח כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} -בימודול. נאמר כי אלגברה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} היא הרחבה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} באמצעות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} איזומורפי (כבימודול) לאידיאל של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I \triangleleft C} , שהוא נילפוטנטי מדרגה 2 (כלומר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I^2=0} ) וכך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C/I\cong A} (איזומורפיזם של אלגברות). אומרים כי הרחבה כזו מתפצלת אם קיים חתך (section) של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} לתוך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} , הסוגר דיאגרמה קומוטטיבית עם ההטלה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} מודולו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} , כאשר מזהים את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C/I} עם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} . לפיכך, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H^2(A,M)=0} פירושה שכל הרחבה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} באמצעות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} מתפצלת.
כל אלגברה ספרבילית היא מממד קוהומולוגי אפס, ולכן חופשית למחצה. אכן, המשפט הראשי של ודרברן קובע כי כל אלגברה מממד סופי מעל שדה מושלם היא סכום ישר (כמרחבים וקטוריים) של הרדיקל הנילפוטנטי שלה ושל המנה הפשוטה למחצה המקסימלית של האלגברה המקורית. ניתן לראות משפט זה באופן הבא: כל אלגברה פשוטה למחצה מממד סופי מעל שדה מושלם היא ספרבילית, ובפרט חופשית למחצה.
מצד שני, כל אלגברה חופשית היא חופשית למחצה (ולא ספרבילית). חוג הפולינומים בשני משתנים הוא דוגמה לאלגברה חלקה בקטגוריה של אלגברות קומוטטיביות, שאיננה חופשית למחצה. אכן, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H^2(F[x,y],F[x,y])\cong F[x,y]} ובפרט אינה אפס. גבול ישר של שרשרת בת-מנייה של אלגברות חופשיות למחצה היא חופשית למחצה.
כל אלגברה חופשית למחצה היא תורשתית (ימנית ושמאלית). מכפלה חופשית ומכפלה ישרה של אלגברות חופשית למחצה היא חופשית למחצה (אך מכפלה טנזורית של אלגברות חופשיות למחצה איננה בהכרח חופשית למחצה). חופשיות למחצה היא שמורת מוריטה.
מקורות
- Cuntz, Quillen, ALGEBRA EXTENSIONS AND NONSINGULARITY, Journal of the AMS 8 (2), 1995.
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] אלגברה חופשית למחצה31208788