קבוצת ג'וליה

קבוצת ג'וליה (בלבן) של הפונקציה $z^{3}-1$, וקבוצת פאטו שלה בצבעים שונים, בהתאם לחלוקה לשלושת שורשיה

במתמטיקה, קבוצת ג'וליה היא קבוצה המוגדרת על ידי תנאי איטרביליות של פונקציה הולומורפית על משטח רימן קומפקטי, כך שערכיה רגישים לשינויים: כל הפרעה בתחום הערכים יוצרת, לאחר מספר הפעלות של הפונקציה, הבדל גדול בטווחם. התנהגות מסוג זה מכונה התנהגות כאוטית, ונלמדת באופן נרחב בתורת הכאוס. קבוצת פאטו היא המשלים לקבוצת ג'וליה, והיא מאפיינת התנהגות רגולרית - ללא הפרעות ושינויים דרסטיים. קבוצות אלו בדרך כלל מסובכות מאד וקשה לתפוש אותן.

קבוצת ג'וליה היא חלק מעבודתם של גסטון ג'וליה ופייר פאטו מראשית המאה ה-20. קבוצה זו מהווה אלמנט בסיסי בתחום המערכות הדינמיות המרוכבות ותורת הכאוס. לקבוצץ ג'וליה קשר מעניין לקבוצת מנדלברוט במקרים מסוימים.

הגדרה

יהי $S$ משטח רימן קומקפטי, ותהי $f:S\to S$ פונקציה הולומורפית לא קבועה. הנקודה $p_{0}\in S$ נקראת רגולרית אם קיימת סביבה $U_{p_{0}}$ כך שקבוצת הפונקציה הנוצרת מאיטרציה על $f:U_{p_{0}}\to S$, כלומר $\{f(z),f(f(z)),\dots \}$, היא משפחת פונקציות נורמלית.

קבוצת פאטו $F(f)$ של הפונקציה $f$ היא אוסף כל הנקודות הרגולריות שלה. קבוצת ג'וליה $J(f)$ היא המשלים של קבוצת פאטו. האיברים בקבוצת ג'וליה מאופיינים בכך שהתנהגות הפונקציה באיטרציות חוזרות על ערכיהן היא כאוטית, כלומר משתנה בקצב מהיר לאחר מספר מסוים של הפעלות של הפונקציה.

במקרה הפרטי בו $S={\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$, כלומר המשטח הוא הספירה של רימן, כל פונקציה הולמורפית היא פונקציה מרוכבת רציונלית, כלומר מנה של שני פולינומים $f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}$. במקרה זה, קבוצת פאטו מתחלקת לאיחוד של מספר סופי של תתי-קבוצות, המתאימות לכל אחד משורשי הפונקציה.

דוגמה

קבוצת ג'וליה של הפונקציה $e^{z^{3}}-0.59$

תהי $f:{\hat {\mathbb {C} }}\to {\hat {\mathbb {C} }}$ מוגדרת על ידי $f(z)=z^{2}$. קל לראות שלכל נקודה במעגל היחידה $z\in D=\{z\in \mathbb {C} ||z|<1\}$ קיימת סביבה בה התנהגות האיטרציות של הפונקציה היא רגולרית, וכנ"ל מחוץ לעיגול היחידה ${\hat {\mathbb {C} }}\setminus D$. עם זאת, על השפה של עיגול היחידה $\partial D=\{z||z|=1\}$ בכל סביבה של הנקודה ההתנהגות של העלאה בריבוע איננה חסומה. על כן, מתקיים $F(f)={\hat {\mathbb {C} }}\setminus \partial D$ ו-$J(f)=\partial D$.

זו דוגמה מיוחדת מאוד, בה הקבוצות "פשוטות". בדרך כלל, מדובר בקבוצות מסובכות מאוד, שקשה לתפוש את צורתן ואת תכונותיהן. דוגמה לקבוצה כזו נתונה בשרטוט משמאל, עבור הפונקציה $e^{z^{3}}-0.59$

תכונות

• קבוצת פאטו היא קבוצה פתוחה, ועל כן קבוצת ג'וליה סגורה. בנוסף, קבוצת ג'וליה היא קבוצה דלילה (או כל המרחב).
• קבוצות ג'וליה ופאטו של איטרציה של פונקציה שווה לקבוצת ג'וליה המקורית, כלומר $J(f(z))=J(f^{k}(z))$ לכל $k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$.
• כל אחת מהקבוצות היא מעוצמת הרצף.
• בקבוצת ג'וליה ישנן נקודות אשר הפעולה האיטרבילית של הפונקציה עליהן היא מחזורית, אך קבוצה זו היא בת מניה בלבד.
• אם הדרגה של הפונקציה (המוגדרת במקרה הרציונלי להיות המקסימום שבין דרגות המונה והמכנה) גדולה או שווה ל-2, אז בקבוצת ג'וליה אין נקודות מבודדות.
• במקרה של פונקציה מעל הספירה, כאמור לעיל קבוצת פאטו היא איחוד סופי של תתי-קבוצות, כאשר כל אחת מהן מתאימה לשורש של הפונקציה. תתי-קבוצות אלו אינן חייבות להיות קשירות. לפי משפט, עבור כל פונקציה רציונלית, מספר רכיבי הקשירות בקבוצה הוא 1,2 או אינסוף. קבוצת ג'וליה היא או קשירה, או שיש לה אינסוף רכיבי קשירות.

הקשר לקבוצת מנדלברוט

במקרה שבו הפונקציה עליה מפעילים את האיטרציות היא $f_{c}(z)=z^{2}+c$, ישנה הגדרה מעט פשוטה יותר - זוהי השפה של קבוצת הנקודות $z\in \mathbb {C}$ עבורן סדרת האיטרציות חסומה.

במקרה זה, לקבוצת ג'וליה ישנו קשר הדוק עם קבוצת מנדלברוט - ג'וליה ופאטו הוכיחו כי אם $c$ שייך לקבוצת מנדלברוט (כלומר אם $f_{c}^{n}(0)$ חסומה) אז קבוצת ג'וליה המתאימה קשירה, ואם לא אז היא בלתי קשירה לחלוטין. זוהי דרך אפיון נוספת לקבוצת מנדלברוט, בעזרת קבוצת ג'וליה המתאימה, המצביעה על הקשר ההדוק שבין המושגים בתורת הפרקטלים.

לקריאה נוספת

• John W. Milnor, Dynamics in One Complex Variable