מערכת דינמית

במתמטיקה, מערכת דינמית היא מרחב טופולוגי $X$ שיש עליו פעולה רציפה, במתכונת של מערכת הומיאומורפיזמים $T_{t}:X\rightarrow X$ כך ש- $T_{t}\circ T_{t'}=T_{t+t'}$ . הפעולות $T$ מתארות התקדמות של הנקודות במרחב עם הזמן, כאשר הנקודה $x$ מגיעה בזמן $t$ למקום $T_{t}(x)$ . מערכות דינמיות מופיעות בתחומים רבים של האנליזה המתמטית, ויש להן יישומים בכל תחומי המדע.

מערכות דינמיות קלאסיות מתארות תנועה $x(t)=(x_{1}(t),\dots ,x_{n}(t))$ במרחב האוקלידי $\mathbb {R} ^{n}$ המוכתבת על ידי מערכת של משוואות דיפרנציאליות ${\frac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})$ . שמורה של מערכת כזו היא פונקציה $H:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ שעבורה $\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial x_{i}}}x_{i}=0$ ; אם $H(x(0))=0$ , אז $H(x(t))=0$ לכל $t$ , כך שהמערכת מוגבלת למשטח $H=0$ .

בדינמיקה סימבולית, אוסף הסדרות האינסופיות $\Sigma ^{\mathbb {Z} }$ מעל אלפבית סופי $\Sigma$ מצויד בטופולוגית המכפלה, ובאופרטור הזזה $T\colon ((x_{i})_{i\in \mathbb {Z} })\mapsto ((x_{i+1})_{i\in \mathbb {Z} })$ , ולכן מהווה מערכת דינמית בדידה. תת-הזזה היא תת-קבוצה סגורה $X\subseteq \Sigma ^{\mathbb {Z} }$ של אוסף הסדרות האינסופיות מעל אלפבית סופי $\Sigma$ (ביחס לטופולוגית המכפלה) שהיא סגורה גם תחת $T,T^{-1}$ .