קבוע צ'אמפרנאוונה

במתמטיקה, קבוע צאמפרנאוונה (Champernowne constant) הוא מספר טרנסצנדנטי ממשי המורכב מרצף כל המספרים הטבעיים:

$C_{10}=0.12345678910111213141516\ldots$

מספר זה הנו חלק מסדרה של מספרים טרנסצנדנטיים אחרים, המסומנים $\{C_{b}\}_{b\in \mathbb {N} ,b\geq 2}$, בה האיבר ה-$b$ מוגדר כבעל היצוג העשרוני בו מופיעים המספרים הטבעיים כשהם מוצגים בבסיס $b$ . מספרים אלו הוגדרו על ידי דיוויד צ'אמפרנאוונה בשנת 1933.

שני המספרים הראשונים בסדרה הם:

${\begin{aligned}C_{2}&=0.11011100101110111\ldots \\C_{3}&=0.12101112202122\ldots \end{aligned}}$

ביתר כלליות, האיבר ה-$b$ בסדרה מוגדר על ידי הטור אינסופי הבא:

$C_{b}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=b^{n-1}}^{b^{n}-1}{\frac {k}{b^{\begin{aligned}n(k-b^{n-1}+1)+(b-1)\sum \limits _{m=1}^{n-1}b^{m-1}m\end{aligned}}}}$

תכונות

כל מספר $C_{b}$ הוא מספר נורמלי בבסיס $b$ : רצפי ספרות בפיתוח העשרוני מתנהגים כאילו נבחרו באקראי בהתפלגות שווה. מידת האי-רציונליות של האיבר $C_{b}$ היא $b$ .

את המספר $C_{10}$ ניתן להציג כשבר משולב באופן הבא:

${\begin{aligned}C_{10}=&[0;8,9,1,149083,1,1,1,4,1,1,1,3,4,1,1,1,15,\\&4\,57540\,11139\,10310\,76483\,64662\,82429\,56118\,59960\,39397\,10457\,55500\,06620\,04393\,09026\,26592\,56314\,93795\\&32077\,47128\,65631\,38641\,20937\,55035\,52094\,60718\,30899\,84575\,80146\,98631\,48833\,59214\,17830\,10987,\\&6,1,1,21,1,9,1,1,2,3,1,7,2,1,83,1,156,4,58,8,54,\ldots ]\end{aligned}}$

קירובים למספר $C_{10}$ הם:

1. ${\frac {10}{81}}=0.{\overline {123456790}}$ (בעל שגיאה של  $10^{-9}$).
2. ${\frac {60499999499}{490050000000}}=0.123456789{\overline {101112\ldots 96979900010203040506070809}}$ (בעל שגיאה של $9\cdot 10^{-190}$).

ראו גם

• קבוע ארדש-קופלנד
• מספר ליוביל