פרינקיפיה מתמטיקה (ראסל)
| מידע כללי | |
|---|---|
| מאת | אלפרד נורת' וייטהד, ברטראנד ראסל |
| סוגה | מתמטיקה |
| הוצאה | |
| תאריך הוצאה | 1910, 1912, 1913 |
| הוצאה בעברית | |
| תרגום | לא תורגם |
בערך זה |
פרינקיפיה מתמטיקה (במקור: Principia Mathematica - PM; בעברית: עקרונות המתמטיקה) היא עבודה בת שלושה כרכים על יסודות המתמטיקה, אשר נכתבה על ידי אלפרד נורת' וייטהד וברטראנד ראסל ופורסמה בשנים 1910, 1912 ו-1913. בשנת 1927, היא הופיע במהדורה שנייה עם הקדמה חשובה, נספח A שהחליף את 9* ונספח C חדש לגמרי.
הפרינקיפיה הייתה ניסיון לתאר אוסף של אקסיומות וכללי היסק בלוגיקה מתמטית אשר מתוכם ניתן להוכיח באופן עקרוני את כל האמיתות המתמטיות. פרויקט שאפתני זה הוא בעל חשיבות רבה בהיסטוריה של המתמטיקה והפילוסופיה[1], עקב היותו אחד התוצאים הראשונים במעלה של האמונה כי מפעל מסוג זה הוא בר מימוש. עם זאת, בשנת 1931 משפטי האי-שלמות של גדל הוכיחו שלמעשה כל ניסיון לא יוכל להגשים את המטרה הנשגבת, שכן לכל אוסף של אקסיומות וכללי היסק שיוצאו כדי לתמצת את המתמטיקה, או שהמערכת תהיה בלתי-עקבית, או שיהיו אמיתות מתמטיות מסוימות שלא יהיה ניתן להסיק מהן.
אחת ההשראות וההנעות הראשיות לפרינקיפיה היא העבודה של גוטלוב פרגה בלוגיקה, אשר ראסל גילה שמאפשרת את היצירה של קבוצה פרדוקסלית (הפרדוקס של ראסל). פרינקיפיה נועדה להימנע מבעיה זו על ידי שלילת האפשרות ליצירה שרירותית של קבוצות. דבר זה הושג על ידי החלפת הרעיון של קבוצה כללית עם הרעיון של היררכית קבוצות מטיפוסים שונים, כך שקבוצה מטיפוס מסוים יכולה להכיל רק קבוצות מטיפוסים נמוכים יותר. מתמטיקה מודרנית נמנעת מפרדוקסים כגון זה בדרכים פחות מגושמות, כמו אקסיומות צרמלו-פרנקל.
אין לבלבל בין ה-Principia Mathematica לבין "The Principles of Mathematics" של ראסל שמשמעות שמו דומה אבל יצא לאור בשנת 1903. בפרינקיפיה מצוין ש:"במקור יעדנו להכליל את העבודה הזו ככרך שני של "the principles".... אבל ככל שהתקדמנו, הלך והתברר שהנושא גדול בהרבה משניתן היה להניח. לא רק זאת אלא שמשוואות בסיסיות רבות אשר נותרו מעורפלות ונתונות בספק בעבודה הקודמת, עתה הגענו למה שאנו רואים כפתרונות המשביעים את הדעת".
גם אין להתבלבל בין ספר זה לבין הפרינקיפיה של אייזיק ניוטון.
הוצאת הספרייה המודרנית (Modern Library) דרגה את PM במקום ה-23 ברשימת 100 ספרי העיון של השפה האנגלית במאה העשרים[2].
היקף היסודות שהונחו
הפרינקיפיה מתמטיקה כיסתה רק את תורת הקבוצות, מספרים קרדינליים, מספרים סודרים ומספרים ממשיים. משפטים מאנליזה ממשית לא נכללו, אבל לקראת סוף הכרך השלישי היה ברור למומחים שחלקים ניכרים מהמתמטיקה הבלתי ידועה יכולים באופן עקרוני להתפתח על ידי הנוסחאות שאומצו. היה ברור גם כמה רחב יריעה יהיה פיתוח מסוג זה.
כרך רביעי אודות היסודות של הגאומטריה תוכנן לצאת לאור, אך המחברים הודו בתשישות אינטלקטואלית עם השלמתו של הכרך השלישי.
בסיס תאורתי
כפי שצוין בביקורת של קורט גדל, שלא כמו תאוריית הפורמליזם, התאוריה ה"לוגית" של הפרינקיפיה חסרה את התחביר המדויק של הפורמליזם. הערה נוספת היא שכמעט מיד מוצגים פירושים (במובן של תורת המודלים) כמונחים של ערכי אמת עבור ההתנהגות של הסמל"⊢" (טענות נכונות), "~" (לא) ו "V" (או).
ערכי אמת: הפרינקיפיה מטמיעה את המושגים של "אמת" (truth) ו"שקר" (falsity) במושג של "טענה פרימיטיבית" (primitive proposition). תאוריה פורמליסטית גולמית (טהורה) לא תספק את המשמעות של הסמלים אשר יוצרים טענות פרימיטיביות - הסמלים עצמם יכולים להיות שרירותיים ובלתי מוכרים לחלוטין. התאוריה תציין רק איך הסמלים מתנהגים בהתבסס על התחביר של התאוריה. לאחר מכך, על ידי הקצאה של "ערכים", מודל יכול לספק פירוש של מה הנוסחאות מביעות. על כן בסדרת הסמלים Kleene, ה"פירוש" של המשמעות הנפוצה של הסמלים, ואופן השימוש המשתמע ממנה, ניתנת בסוגריים. למשל: "¬ (לא)". אבל, אין זו תאוריה פורמליסטית טהורה.
הבניה של תאוריה רשמית התואמת את התקופה
התאוריות הפורמליסטיות הבאות מוצגות כנגד התאוריה הלוגיסטית של הפרינקיפיה. מערכת רשמית התואמת את התקופה תבנה בדרך זו:
- שימוש בסמלים: זו המערכת ההתחלתית וסמלים נוספים יכולים להופיע רק על ידי הגדרה הנובעת מתוך סמלים התחלתיים אלו. מערכת התחלתית יכולה להיות מערכת הסמלים הבאה שהופקה על ידי Kleene בשנת 1952: הסמלים הלוגיים "→" (אם-אז, IF-THEN, "⊃"), "&" (וגם), "V" (או), "¬" (לא), "∀" (לכל), "∃" (קיים); predicate symbol "=" (שווה); סמלי פונקציות: "+" (חיבור), "∙" (כפל), "'" (עוקב); הסמל "0" (אפס); משתנים "a", "b", "c", וכו'; וסוגריים "(" ו-")"[3].
- מחרוזת סמלים: התאוריה תבנה "מחרוזות" של סמלים אלו על ידי שרשור[4].
- חוקי יצירה: התאוריה מפרטת את חוקי התחביר, בדרך כלל כהגדרה רקורסיבית שמתחילה ב"0" ומציינת איך לבנות שרשורים מקובלים או נוסחאות בנויות היטב (well-formed formulas - wffs) כמו חוק ההחלפה.
- חוקי טרנספורמציה: האקסיומות שמפרטות את ההתנהגויות של הסמלים ורצפי הסמלים.
- כללי היסק, ניתוק, מודוס פוננס (modus ponens): החוק שמאפשר לתאוריה "לנתק" "מסקנה" מתוך הנחות היסוד שהובילו אליה ובכך להיפטר מהן (סמלים מצדו השמאלי של הקו |, או סמלים מעל הקו אם הוא מאוזן). אם זה לא היה המקרה, אז ההחלפה הייתה מובילה לשרשורים ארוכים יותר ויותר שהיה צריך להעביר קדימה בכל פעם. לאחר תהליך זה כל שנותר הוא המסקנה, השאר נעלם במהלך התהליך.
תאוריות רבות מתארות את האקסיומות הראשונות שלהן כקלסיות, מודוס פוננס או "חוק הניתוק":
הבנייה
לתאוריה של הפרינקיפיה יש נקודות דמיון ושוני בהשוואה לתאוריה פורמלית. קלן (Kleene) מציין ש"הדידקציה (deduction) של מתמטיקה מלוגיקה הוצאה כאקסיומה אינטואטיבית. האקסיומות נועדו לכך שיאמינו בהן, או שלפחות יקבלו אותן כהיפותזות אפשריות בנוגע לעולם[5]. אמנם, בשונה מתאוריה פורמליסטית שעורכת מניפולציות על סמלים על פי חוקי תחביר, הפרינקיפיה מציגה את המושג של "ערכי אמת" (כלומר, אמת ושקר כפי שהם באים לידי ביטוי בעולם הממשי) ואת "טענת הנכונות" באופן כמעט מיידי כאלמנטים החמישי והשישי במבנה של התאוריה (PM 1962:4–36):
- 1. ערכים
- 2. שימושים באותיות שונות
- 3. הפונקציות הבסיסיות של הטענות (The fundamental functions of propositions): "פונקציית הסתירה" (Contradictory Function) המסומלת על ידי "~" וה"פונקציה של סכום לוגי או הבדלה" (Logical Sum or Disjunctive Function) המסומל על ידי "∨" שנחשבת לגורר פרמיטיבי ולוגי שמוגדר על ידי:
p ⊃ q .=. ~ p ∨ q Df. (PM 1962:11)
ותוצר לוגי מוגדר כ:
p . q .=. ~(~p ∨ ~q) Df. (PM 1962:12)
- 4. שקילות: שקילות לוגית, לא ארטמתית: "≡" ניתנת כהדגמה לדרך השימוש בסמלים. למשל "כך ' p ≡ q ' מסמל '( p ⊃ q ) . ( q ⊃ p )'." מתוך (PM 1962:7). כדי לדון בסימול מסוים הפרינקיפיה מגדירה "מטה"-סימול עם "[רווח]... [רווח]"[6].
שקילות לוגית מופיעה שוב כהגדרה:
- 5. ערכי אמת: ערכי האמת של טענה הוא "אמת" אם היא אמתית ו"שקר" אן היא שיקרית (PM 1962:7).
- 6. סימן הטענה: " ניתן לקרוא את '⊦'. p. כ'זה נכון ש'.... ולכן '⊦: p .⊃. q ' אומר " זה נכון ש- p גורר q, בעוד ש '⊦. p .⊃⊦. q ' אומר p אמתי ולכן q אמתי. הראשון במניהם לא מערב בהכרח את האמתיות של p או q, בעוד שהשני מערב את האמתיות של שתיהן (PM 1962:92).
- 7. הסקה: הגרסה של הפרינקיפיה למודוס פונוס "[If] '⊦. p ' וגם '⊦ (p ⊃ q)' התרחשו, אז '⊦ . q ' יתרחש אם יהיה רצון לתעד זאת. לא ניתן לצמצם את התהליך של הסקה לסמלים. העדות היחידה שלו היא ההתרחשות של '⊦. q ' [במילים אחרות, הסמלים בצד שמאל נעלמים או ניתנים למחיקה] (PM 1962:9).
- 8. השימוש בנקודות
- 9. הגדרות: הן משתמשות בסימן "=" אם "Df" בסוף הצד הימני.
- 10. סיכום של טענות קודמות: דיון קצר של הרעיונות הפרמיטיביים: "~ p", "p ∨ q" ו- "⊦" כתחיליות הצמודות לטענות.
- 11. טענות פרמיטיביות: האקסיומות או ההנחות. היבט זה שונה בצורה משמעותית במהדורה השנייה.
- 12. פונקציות של טענות: הרעיון של "טענות" שונה באופן משמעות במהדורה השנייה, כולל ההצגה של טענות "אטומיות" (atomic) המקושרות על ידי סמלים לוגיים מטענות "מולקולריות" (molecular), והשימוש בתחליפים של טענות מולקולריות לטענות אטומיות או מולקולריות ולצירת ביטויים חדשים.
- 13. הטווח של ערכים והסכום הכולל של השונות.
- 14. טענות דו משמעיות (Ambiguous) והמשתנה האמתי: סעיף זה והשניים שאחריו שונו או ננטשו במהדורה השנייה. במיוחד הדיון בין המושגים שהוגדרו בסעיף 15 ו- 16.
- 15. הגדרות והמשתנה האמתי. סעיף זה הוסר מהמהדורה השנייה.
- 16. טענות בנוגע למשתנים אמתיים וגלויים. סעיף זה הוסר מהמהדורה השנייה.
- 17. השלכות פורמליות ושקילות פורמלית
- 18. זהות
- 19. סוגים ויחסים (Classes and relations)
- 20. פונקציות תאוריות שונות של יחסים
- 21. פונקציות תאוריות מרובות
- 22. יחידות הסוגים (Unit classes)
רעיונות פרמיטיביים
Cf. PM 1962:90–94, עבור המהדורה הראשונה:
- 1. טענות יסודיות.
- 2. טענות יסודיות של פונקציות.
- 3. טענה: הצגה של המושגים "אמת" ו"שקר".
- 4. טענה של היגדים פונקציונאליים (propositional function)
- 5. שלילה: "אם p היא טענה כלשהי, הטענה "לא-p" או "p היא שיקרית" תהיה מיוצגת על ידי "p~".
- 6. הפרדה (Disjunction): "אם p ו- q הן טענות כלשהן, הטענה "p או q" כלומר "או ש-p נכונה או ש- q נכונה", כאשר שתי האפשרויות אינן סותרות אחת את השנייה, יסומנו על ידי "p ∨ q"
- (cf. section B)
טענות פרמיטיביות
המהדורה הראשונה (ראה את הדיון על המהדורה השנייה בהמשך) מתחילה עם הגדרת הסימן "⊃"
✸1.01. p ⊃ q .=. ~ p ∨ q. Df.
✸1.1. כל מה שנגרר או מרומז (implied) על ידי טענה אמיתית בסיסית הוא אמת. Pp מודוס פונס
(✸1.11 ניטש במהדורה השנייה.)
✸1.2. ⊦: p ∨ p .⊃. p. Pp עיקרון של טאוטולוגיה
✸1.3. ⊦: q .⊃. p ∨ q. Pp עקרון החיבור
✸1.4. ⊦: p ∨ q .⊃. q ∨ p. Pp עיקרון החילוף
✸1.5. ⊦: p ∨ ( q ∨ r ) .⊃. q ∨ ( p ∨ r ). Pp עקרון הקיבוץ
✸1.6. ⊦:. q ⊃ r .⊃: p ∨ q .⊃. p ∨ r. Pp עקרון החיבור
✸1.7. אם p היא תענה בסיסית, ~p היא נענה בסיסית. Pp
✸1.71. אם p ו- q הן טענות בסיסיות, p ∨ q i היא טענה בסיסית. Pp
✸1.72. אם φp ו- ψp הן טענות בסיסיות פונקציונאלית (elementary propositional functions) functions שמשתמשות בטענות בסיסיות כארגומנטים (arguments), φp ∨ ψp היא טענה בסיסית. Pp
יחד עם ה"הקדמה למהדורה השנייה", נספח A של המהדורה השנייה זונח את כל סעיף ✸9. זה כולל שיש טענות פרימיטיביות ✸9 עד ✸9.15 יחד עם אקסיומות הפריקות (reducibility)
התאוריה המחודשת (revised theory) נהיית קשה יותר עקב ההצגה של קו שֶׁפֶר ("|") לסימול "אי התאמה" (למשל, אם שתי הטענות הבסיסיות p ו- q אמיתיות, ה"קו" שלהן p | q הוא שיקרי), התואם ל"לא-וגם" הלוגי ( NAND: not-AND). בתאוריה המחודשת, ההקדמה מציגה את המושג של "טענות אטומיות" (atomic proposition), "נתון" אשר "מקושר לחלק הפילוסופי של הלוגיקה". אין להן חלקים שהם טענות והם לא מכילים את המושגים "הכל" או "חלק". לדוגמה: "זה אדום", או "זה מוקדם יותר ממנו". דברים כאלו יכולים להתקיים כ- ad finitum, למשל גם "מנייה אין סופית" (infinite eunumeration) שלהם להחלפת ה"הכללה" (generality). כמו למשל המושג "לכל"[7]. הפרינקיפיה "מתקדמת לטענות מולקולריות" המקושרות על ידי קו שפר. הגדרות נותנות שקילות עבור "~", "∨", "⊃", ן- ".".
ההקדמה החדשה מגדירה "טענות בסיסיות" כטענות אטומיות ומולקולריות ביחד. או אז היא מחליפה את כל הטענות הפרמיטיביות ✸1.2 עד ✸1.72 עם טענה פרמיטיבית בודד, המבוססת על המושגים של קו שפר: "אם p, q, r הן טענות בסיסיות, בהינתן p ו- p|(q|r), אנו יכולים להסיק את r. זוהי טענה בסיסית." ההקדמה החדשה משמרת את המושג של "קיימות" (there exists) אשר עוצבה מחדש כ"אמיתי לפעמים" ו"לכל" אשר שעוצבה מחדש כ"תמיד אמיתי". נספח A מחזק את המושג של "מטריצה" או "פונקציית ניבוי" (predicative function) (טענה בסיסית, PM 1962:164) ומציגה ארבע טענות פריטיביות חדשות כ ✸8.1–✸8.13.
✸88. אקסיומת הכפל
✸120. אקסיומה של אין סוף
טייפים מסתעפים (Ramified types) ואקסיומת הפריקות (reducibility)
תוכן
חלק I הגיון מתמטי. כרך I מ-1✸ עד 43✸
חלק זה מתאר את התחשיב המוצע והצפוי, ונותן את התכונות הבסיסיות של מעמדות, יחסים וסוגים.
חלק II דיון מקדים לחשבון קרדינלי. כרך I מ-50✸ עד 97✸
חלק זה מקיף תכונות מגוונות של יחסים, במיוחד אלו שנדרשות לחשבות קרדינלי.
חלק III חשבון קרדינלי. כרך II מ-100✸ עד 126✸
חלק זה מכסה את ההגדרה והתכונות הבסיסיות של קרדינלים. לכל טיפוס יש את אוסף הקרדינלים המיוחסים לו וישנו צורך בניהול חשבונות משמעותי להשוואה בין קרדינלים מסוגים שונים.הפרינקיפיה הגדירה את החיבור, כפל והעלאה לחזקה של קרדינלים, והשווה הגדרות שונות של קרדינלים סופיים ואין סופיים. 120.03✸ היא האקסיומה של אין סוף.
חלק IV מתמטיקה של יחסים. כרך II מ-150✸ עד 189✸
חלק V סדרות. כרך II מ-200✸ עד 234✸ וכרך III מ-250✸ עד 276✸
חלק זה מכסה את נושא הסדרות.
חלק VI כמות. כרך III מ-300✸ עד 375✸
חלק זה בונה את מושג השלמים, שדה המספרים הרציונלים ושדה המספרים הממשיים, ומשפחות וקטורים, שמקושרות למה שמכונה היום קבוצות torsors over abelian.
הבדלים בין מהדורות
פרט לתיקון של טעויות דפוס, רוב הטקסט של הפרינקיפיה לא השתנה בין המהדורה הראשונה והשנייה. במהדורה השנייה כרכים 2 ו-3 כמעט שלא השתנו, פרט למספור העמודים. עם זאת, בכרך הראשון היו חמש תוספות חדשות:
- הקדמה בת 54 עמודים מאת ראסל, אשר מתארת את השינויים שהם היו עושים לו היה להם יותר זמן ואנרגיה. השינוי העיקרי שהוא הציע הוא ההסרה של אקסיומת ה- reducibility השנויה במחלוקת, אף על פי שהוא מודע שאין בידו להציע תחליף ראוי עבורה. נראה גם שהוא תומך יותר ברעיון שעל פונקציה להיקבע על ידי הערכים שלה (כמקובל במתמטיקה המודרנית).
- נספח A, ממוספר כ- 8*, מכיל 15 עמודים על Sheffer stroke.
- נספח B, ממוספר כ- 89*, דן באינדוקציה בלי אקסיומת ה- reducibility
- נספח C בן 8 עמודים, אשר דן ב- Propositional functions
- רשימה בת 8 עמודים של הגדרות בסוף, המספקת אינדקס נחוץ ביותר לכ-500 הסימונים שבהם נעשה שימוש.
בשנת 1962 Cambridge University Press פרסמה מהדורה מקוצרת בכריכה רכה, המכילה חלקים מהמהדורה השנייה של כרך 1: ההקדמה החדשה, הטקסט העיקרי עד 56* ונספחים A ו-C.
ראו גם
קישורים חיצוניים
הערות שוליים
- ^ Irvine, Andrew D. (1 במאי 2003). "Principia Mathematica (Stanford Encyclopedia of Philosophy)". Metaphysics Research Lab, CSLI, Stanford University. נבדק ב-5 באוגוסט 2009.
{{cite web}}: (עזרה) - ^ "The Modern Library's Top 100 Nonfiction Books of the Century". The New York Times Company. 30 באפריל 1999. נבדק ב-5 באוגוסט 2009.
{{cite web}}: (עזרה) - ^ מערכת זו נלקחת מ-Kleene 1952:69 תוך החלפת → במקום ⊃.
- ^ Kleene 1952:71, Enderton 2001:15
- ^ Quote from Kleene 1952:45.
- ^ In his section 8.5.4 Groping towards metalogic Grattan-Guinness 2000:454ff discusses the American logicians' critical reception of the second edition of PM.
- ^ This idea is due to Wittgenstein's Tractatus.
