פונקטור

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, פונקטור הוא סוג מיוחד של העתקה בין קטגוריות.

פונקטורים הוגדרו לראשונה בטופולוגיה אלגברית, שם שויכו מבנים אלגבריים למרחבים טופולוגיים (למשל החבורה היסודית), והומומורפיזמים אלגבריים שויכו לפונקציות רציפות. כיום, פונקטורים קיימים בכל תחומי המתמטיקה, והם מאפשרים ליצור קשרים בין תחומים מתמטיים שונים.

את המונח טבע רודולף קרנפ, והוא אומץ על ידי אחד ממייסדי תורת הקטגוריות, סאונדרס מק'ליין.

הגדרה פורמלית

יהיו ${\mathcal {C}}$ ו- ${\mathcal {D}}$ שתי קטגוריות. פונקטור קו-וריאנטי $F$ מ- ${\mathcal {C}}$ ל- ${\mathcal {D}}$ הוא המידע הבא:

לכל אובייקט $X\in {\mathcal {C}}$ קיים אובייקט $FX\in {\mathcal {D}}$ .
לכל מורפיזם $f:X\rightarrow Y$ ב- ${\mathcal {C}}$ יש מורפיזם $F(f):F(X)\rightarrow F(Y)$ ב- ${\mathcal {D}}$ .

כך שהתכונות הבאות מתקיימות:

לכל אובייקט $X\in Ob({\mathcal {C}})$ המורפיזם $F(1_{X})$ הוא מורפיזם הזהות של $FX$ .
לכל זוג מורפיזמים $f:X\rightarrow Y$ ו- $g:Y\rightarrow Z$ מתקיים $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ .

במילים אחרות, הפונקטור משמר את מורפיזם הזהות ואת פעולת הרכבת המורפיזמים.

העתקה בין שתי קטגוריות $G:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}$ המקיימת את כל התכונות של פונקטור, פרט לכך שעבור מורפיזמים היא פועלת בכיוון ההפוך,

לכל מורפיזם $f:X\rightarrow Y$ ב- ${\mathcal {C}}$ יש מורפיזם $G(f):G(Y)\rightarrow G(X)$ ב- ${\mathcal {D}}$ .
לכל זוג מורפיזמים $f:X\rightarrow Y$ ו- $g:Y\rightarrow Z$ מתקיים $G(g\circ f)=G(f)\circ G(g)$

נקראת פונקטור קונטרה-וריאנטי.

דוגמאות

ההעתקה $F:\mathbf {Grp} \to \mathbf {Set}$ מקטגורית החבורות לקטגורית הקבוצות, המעתיקה חבורה לקבוצת האיברים שלה, ומעתיקה הומומורפיזם בין חבורות למורפיזם בין קבוצות המגדיר אותו, הוא פנקטור קווריאנטי. פונקטורים מהצורה הזאת, אשר שוכחים חלק מהמבנה של האובייקטים והמורפיזמים בקטגוריה, נקראים פונקטורים שוכחים.

ההעתקה המתאימה לכל מרחב וקטורי את המרחב הדואלי לו, ולכל העתקה ליניארית את ההעתקה הצמודה לה היא פונקטור קונטרה וריאנטי מהקטגוריה של מרחבים וקטורים לעצמה.

ההעתקה המתאימה לכל חבורת לי $G$ אלגברת לי ${\mathfrak {g}}$ היא פונקטור. במקרה זה, למורפיזם של חבורות לי $\varphi :G\to H$ הפונקטור מתאים את הדיפרנציאל (נגזרת) $d\varphi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}$ .

דוגמה מגאומטריה אלגברית: ההעתקה מקטגוריית היריעה אלגבריות אפיניות מעל שדה $k$ לקטגוריית לאלגברות הפולינומים מעל k היא פונקטור קונטרה-וריאנטי. לכל יריעה אלגברית אפינית $V$ הפונקטור מתאים את חוג הקואורדינטות $k[V]$ ולכל מורפיזם של יריעות אפיניות $f:V\to W$ שהוא העתקה פולינומית הפונקטור מתאים הומומורפיזם $f^{*}:k[W]\to k[V]$ המוגדר כך: לכל $g:W\to k$ שהיא העתקה פולינומית $f^{*}(g)=g\circ f$ , וזו העתקה פולינומית מ- $V$ ל- $k$ (כהרכבה של שני פולינומים).

פונקטור נאמן ומלא

יהיו ${\mathcal {C}}$ ו- ${\mathcal {D}}$ קטגוריות קטנות מקומית (כלומר: אוסף המורפיזמים בין כל שני עצמים בקטגוריה הוא קבוצה קטנה). יהי $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ פונקטור מ- ${\mathcal {C}}$ ל- ${\mathcal {D}}$ . הפונקטור $F$ משרה פונקציה בין קבוצות

F_{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)\rightarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))

לכל זוג עצמים $X$ ו- $Y$ ב- ${\mathcal {C}}$ .

הפונקטור נקרא:

נאמן (faithful) אם $F_{X,Y}$ הוא פונקציה חד-חד-ערכית (injection) לכל זוג עצמים $X$ ו- $Y$ ב- ${\mathcal {C}}$ .
מלא (full) אם $F_{X,Y}$ היא פונקציה על (surjection) לכל זוג עצמים $X$ ו- $Y$ ב- ${\mathcal {C}}$ .
נאמן ומלא (full faithful) אם $F_{X,Y}$ היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל (bijection) לכל זוג עצמים $X$ ו- $Y$ ב- ${\mathcal {C}}$ .

העתקה טבעית

עבור שני פונקטורים $F,G:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}$ , העתקה טבעית $\eta :F\rightarrow G$ מתאימה לכל אובייקט $X\in {\mathcal {C}}$ מורפיזם $\eta _{X}:F(X)\rightarrow G(X)$ כך שלכל מורפיזם $f:X\rightarrow Y$ ב- ${\mathcal {C}}$ מתקיים $\eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}$ .