פונקציה גזירה

גרף של פולינום (ממעלה 4) הגזיר בכל נקודה

גרף של פונקציית הערך המוחלט הגזירה בכל נקודה למעט $x=0$

גרף של פונקציית ויירשטראס שהינה רציפה בכל נקודה אך אינה גזירה באף נקודה

בחשבון אינפיניטסימלי, פונקציה גזירה היא פונקציה ממשית שיש לה נגזרת בכל תחומה. לגרף של פונקציה גזירה יש משיק בכל נקודה והוא נראה "חלק" יחסית, ללא קווים שבורים ו"השתוללויות". תכונה חשובה של פונקציה גזירה, שגם שקולה לגזירותה, היא האפשרות לקרב אותה לינארית.

הגדרות

פונקציה $f$ גזירה בנקודה $x$ אם קיים הגבול:

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

תוצאת הגבול נקראת "הנגזרת של $f$ בנקודה $x$" ומסומנת $f'(x)$ .

פונקציה $f$ גזירה בקבוצה $D$ אם לכל $x\in D$ מתקיים כי $f$ גזירה ב־$x$ . פונקציה $f$ גזירה אם היא גזירה בתחום שלה.

על פונקציה שהנגזרת שלה רציפה נאמר כי היא גזירה ברציפות. אם הנגזרת של פונקציה גזירה בעצמה, נאמר כי הפונקציה "גזירה פעמיים", ובאופן כללי אם לפונקציה יש נגזרת $n$־ית נאמר כי היא גזירה $n$ פעמים או גזירה מסדר n. פונקציה שהיא גזירה n פעמים לכל n היא פונקציה גזירה אינסוף פעמים, או פשוט פונקציה חלקה.

קבוצת הפונקציות שגזירות n-פעמים ברציפות מסומנת $\ C^{n}$, כאשר $\ C^{0}$ היא קבוצת הפונקציות הרציפות ו-$\ C^{\infty }$ היא קבוצת הפונקציות החלקות. לכל n,‏ $\ C^{n}$ מכילה את $\ C^{m}$ כאשר $\ m>n$ וכולן מכילות את $\ C^{\infty }$.

פונקציה $\ f$ היא גזירה למקוטעין בקטע אם קיים אוסף בן מנייה (גם סופי) של נקודות $\ P=\lbrace p_{0}<p_{1}<\ldots <p_{n}<\ldots \rbrace$ עבורו לכל $\ x$ בקטע פתוח $\ x\in (p_{i},p_{i+1})$ $\$ מתקיים כי $\ f$ גזירה ב-$\ x$.

פונקציה היא גזירה מימין או גזירה משמאל כאשר הגבול המגדיר את הנגזרת קיים מימין או משמאל בהתאמה.

כאשר דנים בפונקציות בכמה משתנים, אז פונקציה גזירה חלקית לפי $x$ אם קיימת לה נגזרת חלקית לפי המשתנה $x$ . תנאי חזק שמכליל גזירות בכמה משתנים הוא דיפרנציאביליות. פונקציה דיפרנציאבילית היא פונקציה שניתן לקרב לינארית, ובפרט היא גזירה חלקית לפי כל משתנה. במשתנה אחד המונחים פונקציה דיפרנציאבילית ופונקציה גזירה מתלכדים.

רציפות

כל פונקציה גזירה היא בהכרח רציפה (ולכן גם אינטגרבילית). ניתן להוכיח זאת ישירות מהגדרת הנגזרת. אם $\ f$ אינה רציפה ב-$\ x$ אז $\ \lim _{h\to 0}f(x+h)-f(x)\neq 0$ ולכן הגבול המגדיר נגזרת אינו קיים (הוא ביטוי מהצורה ${\tfrac {a}{0}}$ כאשר $a\neq 0$). ההיפך אינו נכון - לא כל פונקציה רציפה היא גם גזירה. למשל פונקציית הערך המוחלט רציפה בנקודה $x=0$ אך אינה גזירה שם, כי הנגזרת מימין והנגזרת משמאל שונות זו מזו. רוב הפונקציות הרציפות השימושיות גזירות כמעט בכל נקודה. אולם ב-1872 מצא קארל ויירשטראס דוגמה ראשונה לפונקציה רציפה שאינה גזירה באף נקודה: פונקציית ויירשטראס. לפי משפט הקטגוריה של בייר כמעט כל הפונקציות הרציפות אינן גזירות באף נקודה.

גזירות מרוכבת

גזירות של פונקציה מרוכבת היא תנאי חזק בהרבה מגזירות של פונקציה ממשית. פונקציה גזירה במובן המרוכב נקראת פונקציה הולומורפית.