השתנות חסומה
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
השתנות חסומה היא תכונה של פונקציות ממשיות. עבור פונקציות במשתנה אחד, פונקציה בעלת השתנות חסומה בקטע $ \ [a,b] $ היא כזו שהשינוי הכולל שלה על ציר ה y הוא סופי, ולכן היא גם חסומה בקטע.
הגדרה
עבור פונקציה $ \ f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} $ תהי $ T $ חלוקה של הקטע בצורה הבאה:
- $ \ T:a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b $
נגדיר את ההשתנות של $ f $ לפי $ T $ להיות:
- $ \ v(f,T)=\sum _{i=1}^{n}|f(x_{i})-f(x_{i-1})| $
כעת נגדיר את ההשתנות הכללית של הפונקציה בקטע $ [a,b] $ להיות:
$ V_{a}^{b}(f)=\sup _{T}\{v(f,T)\} $
כאשר ההשתנות הכללית של $ f $ בקטע היא ערך ממשי סופי, $ f $ תיקרא "בעלת השתנות חסומה בקטע".
דוגמאות
- הפונקציה $ \cos x $ היא בעלת השתנות חסומה בקטע $ [0,\pi ] $ ומתקיים שם $ \ V_{a}^{b}(\cos x)=2 $.
- כל פונקציה מונוטונית היא בעלת השתנות חסומה ומתקיים $ \ V_{a}^{b}(f)=|f(b)-f(a)| $.
- כל פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ היא בעלת השתנות חסומה שכן במקרה כזה קיים קבוע $ K $ כך ש-$ V_{a}^{b}(f)\leq K(b-a) $.
- פונקציית דיריכלה היא פונקציה חסומה שאינה בעלת השתנות חסומה. לכל n טבעי אפשר לבחור חלוקה T שבה יש n+1 נקודות רציונליות ואי-רציונליות לסירוגין ולקבל $ v(T)=n $.
- הפונקציה $ x\sin(1/x) $ המוגדרת כאפס באפס היא פונקציה רציפה וחסומה בקטע $ [0,1] $ שאינה בעלת השתנות חסומה. אפשר לבנות סדרת חלוקות $ (T_{n}) $ עם נקודות קרובות מספיק לאפס כך שהסדרה $ v(T_{n}) $ היא סדרת הסכומים החלקיים של הטור ההרמוני המתבדר.
תכונות של פונקציות בעלות השתנות חסומה בקטע סגור
- צירוף ליניארי של פונקציות בעלות השתנות חסומה הוא פונקציה בעלת השתנות חסומה.
- פונקציה בעלת השתנות חסומה היא פונקציה חסומה (ולכן אינטגרבילית). הסיבה לכך נובעת ישירות מהאי-שיווין הפשוט שנובע מחלוקה של הקטע בנקודה אחת $ \ T:a=x_{0}<x_{1}=x<x_{2}=b $:
- $ \ |f(x)|-|f(a)|\leq |f(x)-f(a)|\leq |f(x)-f(a)|+|f(b)-f(x)|=\sum _{i=1}^{2}|f(x_{i})-f(x_{i-1})|\leq V_{a}^{b}(f) $
- ולכן $ \ |f(x)|\leq V_{a}^{b}(f)+|f(a)| $ לכל $ \ x $ ב-$ [a,b] $.
- הכיוון ההפוך לא נכון כפי שמודגם בדוגמאות.
- פונקציה היא בעלת השתנות חסומה אם ורק אם היא הפרש של שתי פונקציות מונוטוניות לא יורדות: אם $ \ f $ פונקציה בעלת השתנות חסומה, הפונקציות
- $ \ f_{1}(x)=V_{a}^{x}f $
- $ \ f_{2}(x)=V_{a}^{x}f-f(x) $
- שתיהן פונקציות מונוטוניות לא יורדות, ומתקיים: $ \ f(x)=f_{1}(x)-f_{2}(x) $
- כל הפרש בין פונקציות לא יורדות הוא בעלת השתנות חסומה כצירוף ליניארי של פונקציות בעלות השתנות חסומה.
- לפונקציה בעלת השתנות חסומה קבוצה בת מנייה של נקודות אי-רציפות וכולן מהסוג הראשון. נובע מההצגה כהפרש פונקציות מונוטוניות.
- פונקציה בעלת השתנות חסומה גזירה כמעט בכל מקום והנגזרת שלה אינטגרבילית לבג. נובע מההצגה כהפרש פונקציות מונוטוניות.
- אם $ f $ רציפה בהחלט מתקיים: $ V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'|d\lambda $ (אינטגרל לבג לפי מידת לבג).
השתנות חסומה22366931