פולינום סימטרי אלמנטרי

באלגברה, הפולינומים הסימטריים האלמנטריים הם סוג אפשרי של אבני בניין של פולינומים סימטריים, במובן שכל פולינום סימטרי ניתן לביטוי כפולינום בפולינומים הסימטריים האלמנטריים. ישנו פולינום סימטרי אלמנטרי אחד ממעלה d ב-n משתנים בעבור כל מעלה שמקיימת d ≤ n, והוא נוצר על ידי חיבור כל המכפלות האפשריות של d משתנים שונים מתוך האוסף של n משתנים.

הגדרה

הפולינומים הסימטריים האלמנטריים ב-n משתנים X₁, …, X_n, שנסמנם (e_k(X₁, …, X_n בעבור k = 0, 1, …, n, מוגדרים כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} e_0 (X_1, X_2, \dots,X_n) &= 1,\\[10pt] e_1 (X_1, X_2, \dots,X_n) &= \sum_{1 \leq j \leq n} X_j,\\ e_2 (X_1, X_2, \dots,X_n) &= \sum_{1 \leq j < k \leq n} X_j X_k,\\ e_3 (X_1, X_2, \dots,X_n) &= \sum_{1 \leq j < k < l \leq n} X_j X_k X_l,\\ \end{align}}

וכך הלאה, עד הפולינום האלמנטרי האחרון: הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle e_{n}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.}

באופן כללי, עבור k ≥ 0, מגדירים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e_k (X_1 , \ldots , X_n )=\sum_{1\le j_1 < j_2 < \cdots < j_k \le n} X_{j_1} \dotsm X_{j_k},}

כך ש-e_k(X₁, …, X_n) = 0 אם k > n.

לכן, בעבור כל שלם אי-שלילי k הקטן או שווה ל-n ישנו בדיוק פולינום סימטרי אלמנטרי אחד ממעלה k ב-n משתנים. כדי ליצור את הפולינום האלמנטרי ממעלה k, יש לקחת את הסכום של כל המכפלות של תת-קבוצות בעלות k איברים שונים של קבוצת המשתנים המקורית (בשונה מכך, אם מבצעים את אותה פעולה באמצעות מולטי-קבוצות של משתנים, כלומר על ידי בחירה עם חזרות של משתנים, אז מקבלים את הפולינום ההומוגני השלם ממעלה k ב-n משתנים).

דוגמאות

להלן רשימה של כל הפולינומים הסימטריים האלמנטריים בעבור מספר משתנים בין אחד לארבע (בכל מקרה, e₀ = 1 הוא גם אחד הפולינומים):

בעבור n = 1:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e_1(X_1) = X_1.}

בעבור n = 2:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} e_1(X_1,X_2) &= X_1 + X_2,\\ e_2(X_1,X_2) &= X_1X_2.\,\\ \end{align}}

בעבור n = 3:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} e_1(X_1,X_2,X_3) &= X_1 + X_2 + X_3,\\ e_2(X_1,X_2,X_3) &= X_1X_2 + X_1X_3 + X_2X_3,\\ e_3(X_1,X_2,X_3) &= X_1X_2X_3.\,\\ \end{align}}

בעבור n = 4:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} e_1(X_1,X_2,X_3,X_4) &= X_1 + X_2 + X_3 + X_4,\\ e_2(X_1,X_2,X_3,X_4) &= X_1X_2 + X_1X_3 + X_1X_4 + X_2X_3 + X_2X_4 + X_3X_4,\\ e_3(X_1,X_2,X_3,X_4) &= X_1X_2X_3 + X_1X_2X_4 + X_1X_3X_4 + X_2X_3X_4,\\ e_4(X_1,X_2,X_3,X_4) &= X_1X_2X_3X_4.\,\\ \end{align}}

תכונות

הפולינומים הסימטריים האלמנטריים מופיעים כאשר מפתחים פירוק לגורמים ליניאריים של פולינום במשתנה אחד; ישנה הזהות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \prod_{j=1}^n ( \lambda - X_j)=\lambda^n - e_1(X_1,\ldots,X_n)\lambda^{n-1} + e_2(X_1,\ldots,X_n)\lambda^{n-2} + \cdots +(-1)^n e_n(X_1,\ldots,X_n).}

כלומר, כאשר מציבים ערכים מספריים במשתנים X₁, X₂, …, X_n מקבלים את מקדמי הפולינום ששורשיו הם הערכים שהוצבו עבור X₁, X₂, …, X_n. הקשרים בין השורשים למקדמים של הפולינום נקראים נוסחאות ויאטה.

הפולינום האופייני של מטריצה ריבועית הוא דוגמה ליישום של נוסחאות ויאטה. השורשים של הפולינום הזה הם הערכים העצמיים של המטריצה. כאשר מציבים את הערכים העצמיים הללו בפולינומים הסימטריים האלמנטריים מקבלים, עד כדי סימן, את המקדמים של הפולינום האופייני. למשל, העקבה של המטריצה (סכום האיברים על האלכסון הראשי) הוא הערך של e₁, ולפיכך הוא גם סכום הערכים העצמיים שלה - או העקבה של הצורה האלכסונית של המטריצה. בדומה לכך, הדטרמיננטה היא, עד כדי סימן, האיבר הקבוע של הפולינום האופייני; כלומר היא שווה ל-e_n. לכן הדטרמיננטה של מטריצה היא מכפלת הערכים העצמיים.

האוסף של פולינומים סימטריים אלמנטריים ב-n משתנים יוצר את חוג הפולינומים הסימטריים ב-n משתנים. באופן פורמלי יותר, חוג הפולינומים הסימטריים עם מקדמים שלמים שווה לחוג הפולינומי ℤ[e₁(X₁, …, X_n), …, e_n(X₁, …, X_n)] (ראו למטה בעבור קביעה כללית והוכחה). עובדה זאת היא אחת מהיסודות של תורת האינווריאנטים.

המשפט היסודי של פולינומים סימטריים

בעבור חוג חילופי A, נסמן את החוג של פולינומים סימטריים במשתנים X₁, …, X_n עם מקדמים ב-A על ידי A[X₁, …, X_n]^S_n. לפי המשפט היסודי של פולינומים סימטריים, זהו חוג פולינומי ב-n הפולינומים הסימטריים האלמנטריים e_k(X₁, …, X_n) בעבור k = 1, …, n.

הוכחה

את המשפט ניתן להוכיח בעבור פולינומים הומוגניים סימטריים באמצעות אינדוקציה כפולה ביחס למספר המשתנים n וביחס למעלת הפולינום (צעד האינדוקציה ביחס למעלה נעשה כאשר n נלקח כקבוע). המקרה הכללי יותר של פולינום סימטרי אי-הומוגני מתקבל מהמשפט היסודי דרך פירוק הפולינום הסימטרי למרכיבים ההומוגניים שלו (שהם בהכרח סימטריים בעצמם).

במקרה n = 1 התוצאה מובנת מאליה כי כל פולינום במשתנה אחד הוא בהכרח סימטרי. לכן בסיס האינדוקציה מתקיים.

נניח כעת שהמשפט הוכח בעבור כל הפולינומים ב-m < n משתנים ובעבור כל הפולינומים הסימטריים ב-n משתנים ממעלה קטנה מ-d. כל פולינום סימטרי הומוגני P ב-A[X₁, …, X_n]^S_n ניתן לפירוק כסכום של פולינומים הומוגניים סימטריים באופן הבא:

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle P(X_{1},\ldots ,X_{n})=P_{\text{lacunary}}(X_{1},\ldots ,X_{n})+X_{1}\cdots X_{n}\cdot Q(X_{1},\ldots ,X_{n}).}

כאן "החלק הלקוני" P_lacunary מוגדר כסכום כל המונומים של P אשר הגורמים שלהם נלקחים מתוך תת-קבוצה חלקית של n המשתנים X₁, …, X_n, כלומר, כל המונומים אשר לפחות משתנה אחד X_j חסר בהם.

בגלל ש-P סימטרי, החלק הלקוני נקבע באופן חד-חד ערכי על ידי איברי P שמכילים רק את n-1 המשתנים הראשונים, דהיינו X₁, …, X_{n − 1}, כלומר אלו שאינם מכילים את X_n. ביותר דיוק, אם A ו-B הם שני פולינומים הומוגניים סימטריים ב-X₁, …, X_n בעלי אותה מעלה, ואם המקדם לפני כל מונום של A שמכיל רק את המשתנים X₁, …, X_{n − 1} שווה למקדם המתאים של B, אז ל-A ו-B יש חלקים לקוניים זהים. זה נובע מכך שכל מונום שמופיע בחלק הלקוני חייב להיות בעל לפחות משתנה חסר אחד, וכמו כן P נשמר תחת פעולת החבורה הסימטרית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_n} , ולכן ניתן באמצעות תמורה מתאימה של המשתנים להפוך אותו למונום שמכיל רק את המשתנים X₁, …, X_{n − 1}. כדוגמה מוחשית, נסתכל על הפולינום הסימטרי ההומוגני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(x_1,x_2) = x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2} - החלק הלקוני שלו הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1^2 + x_2^2 } , ואמנם הוא מכיל גם את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_2^2} , אך את איבר זה למעשה ניתן היה לקבל מראש על בסיס האיבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1^2} - אם זוכרים ש-P סימטרי - כך שניתן להפעיל את התמורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma = (1 , 2)} על האינדקסים של המשתנים.

האיברים של P שמכילים רק את המשתנים X₁, …, X_{n − 1} הם בדיוק האיברים ששורדים תחת הפעולה של הצבת הערך של X_n על 0, כך שסכומם שווה (P(X₁, …, X_{n − 1}, 0, שהוא פולינום סימטרי במשתנים X₁, …, X_{n − 1} שנסמנו כעת (P̃(X₁, …, X_{n − 1}. מהנחת האינדוקציה, הפולינום הזה ניתן לכתיבה כ-:

${\tilde {P}}(X_{1},\ldots ,X_{n-1})={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n-1},\ldots ,\sigma _{n-1,n-1})$

בעבור פולינום כלשהו Q̃, כאשר σ_{j,n − 1} מייצג את הפולינום הסימטרי האלמנטרי ממעלה j ב-n-1 משתנים.

נתייחס כעת לפולינום

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R(X_1, \ldots, X_{n}):= \tilde{Q}(\sigma_{1,n}, \ldots, \sigma_{n-1,n}) \ .}

(R(X₁, …, X_n הוא פולינום סימטרי ב-X₁, …, X_n, ממעלה זהה ל-P_lacunary, אשר מקיים

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R(X_1, \ldots, X_{n-1},0) = \tilde{Q}(\sigma_{1,n-1}, \ldots, \sigma_{n-1,n-1}) = P(X_1, \ldots,X_{n-1},0)}

במילים אחרות, המקדם של R לפני כל מונום אשר מכיל רק את המשתנים X₁, …, X_{n − 1} שווה למקדם המתאים של P. פירוש הדבר הוא שהחלק הלקוני של R זהה לזה של הפולינום המקורי P. לפיכך להפרש P − R אין חלק לקוני, ולכן הוא מתחלק במכפלה X₁···X_n של כל המשתנים, אשר שווה לפולינום הסימטרי האלמנטרי σ_n,n. כיוון ש-P − R = σ_n,nQ, המנה Q היא פולינום הומוגני סימטרי ממעלה קטנה מ-d (למעשה ממעלה לכל היותר d-n) אשר לפי הנחת האינדוקציה ניתנת לביטוי כפולינום בפולינומים הסימטריים האלמנטריים. באמצעות שילוב ההצגות של P − R ו-R ניתן לבנות הצגה פולינומית של הפולינום המקורי P.

היחידות של ההצגה ניתנת להוכחה באמצעות טכניקה אינדוקטיבית דומה. היא שקולה לעובדה ש-n הפולינומים e₁, …, e_n הם בלתי תלויים אלגברית מעל החוג A.

דוגמה

• נציג את הפולינום הסימטרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x_1,x_2) = x_1^4 + x_2^4 } כפולינום בפולינומים האלמנטריים.

בהתאם לתהליך בהוכחה, נציג את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x_1,x_2) } כהפרש בין חזקה של פולינום סימטרי אלמנטרי לבין פולינום סימטרי הומוגני ממעלה נמוכה יותר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1^4 + x_2^4 = e_1^4(x_1,x_2) - (4x_1^3x_2 + 6x_1^2x_2^2 + 4x_1x_2^3) = e_1^4(x_1,x_2) - e_2(x_1,x_2)(4x_1^2 + 6x_1x_2 + 4x_2^2)}

לפי הנחת האינדוקציה על מעלת הפולינום, את הפולינום $4x_{1}^{2}+6x_{1}x_{2}+4x_{2}^{2}$ בהכרח ניתן להציג בדרך המבוקשת, ונראה זאת: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4x_1^2 + 6x_1x_2 + 4x_2^2 = 4e_1^2(x_1,x_2) - 2e_2(x_1,x_2) } . לכן קיבלנו הצגה בפולינומים האלמנטריים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1^4 + x_2^4 = e_1^4(x_1,x_2) - 4e_1^2(x_1,x_2)e_2(x_1,x_2) + 2e_2^2(x_1,x_2) } .

ניתן להרחיב את הבנייה למקרה של סכום חזקות רביעיות של n משתנים, תוך התבססות על התוצאה ל-2 משתנים ושימוש בחלק השני של הנחת האינדוקציה; ביחס למספר המשתנים.

ראו גם

• פולינום סימטרי

קישורים חיצוניים

• פולינום סימטרי אלמנטרי, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

26784401פולינום סימטרי אלמנטרי