נוסחאות ויאטה

באלגברה, נוסחאות ויאטה, הקרויות על שם המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט הן נוסחאות המקשרות בין מקדמי פולינומים לבין שורשיהם בשדות סגורים אלגברית כמו המרוכבים.

עבור פולינום מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \dots+a_1x+a_0} , עם שורשים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_1 , x_2, \dots , x_n} , כולל שורשים כפולים, מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = -\tfrac{a_{n-1}}{a_n} \\ (x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\ (x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+...+x_1x_2x_n)+(x_1x_3x_4+x_1x_3x_5+...+x_1x_3x_n)+...+(x_2x_3x_4+x_2x_3x_5+...+x_2x_{n-1}x_n)+.....+x_{n-2}x_{n-1}x_n=-\frac{a_{n-3}}{a_n} {} \quad \\ \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}}

הנוסחה לכל אחד ואחד היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum\limits_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n}^n x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}}

לדוגמה, מתקיים:

$\ \sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}={\frac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\quad ,\quad \prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}={\frac {(-1)^{n}a_{0}}{a_{n}}}$

בפרט, עבור פולינום ממעלה שנייה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p(x) = ax^2 + bx + c} , מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ -\frac{b}{a} = x_1 + x_2 \ ; \ \frac{c}{a} = x_1 \cdot x_2}

מאחר שעבור כל מטריצה, הערכים העצמיים שלה הם שורשי הפולינום האופייני, לפי נוסחאות ויאטה מתקיימים גם הקשרים הבאים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sum\limits_{j=1}^n x_j = \mathrm{tr}(A) \quad , \quad \prod\limits_{j=1}^n x_j = \det(A)}

כאשר A היא המטריצה ו-x_j הם הערכים העצמיים שלה. זאת כיוון שהמקדם החופשי בפולינום האופייני הוא הדטרמיננטה, המקדם של החזקה המקסימלית הוא 1 והמקדם של החזקה הבאה הוא מינוס העקבה של המטריצה.

קישורים חיצוניים

• נוסחאות ויאטה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

36277960נוסחאות ויאטה