פוטנציאל מעוכב
באלקטרודינמיקה, פוטנציאלים מעוכבים (retarded potentials) הם פוטנציאלים אלקטרומגנטיים בשדה אלקטרומגנטי שנוצר על ידי זרם חשמלי משתנה בזמן או צפיפות מטען משתנה בזמן - בעבר.
השדות מתפשטים במהירות האור c, ולכן ההשהיה של השדות המחברים סיבה ותוצאה בזמנים מוקדמים ומאוחרים הוא גורם חשוב: לאות לוקח זמן סופי להתפשט מנקודה בתוך התפלגות המטען או הזרם (נקודת ה"סיבה") לנקודה אחרת במרחב (שם ההשפעה נמדדת), ראו איור למטה. [1]
בכיול לורנץ
נקודת המוצא היא משוואות מקסוול בגישת שדה הפוטנציאל שלהן, בעזרת כיול לורנץ:
- $ \Box \varphi ={\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \Box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} $
כאשר φ( r, t ) הוא הפוטנציאל החשמלי ו- A ( r, t ) הוא הפוטנציאל הווקטורי המגנטי, עבור מקור שרירותי של צפיפות המטען ρ( r, t ) וצפיפות הזרם J ( r, t ), וכן $ \Box $ הוא הד'אלמבריאן. [2] פתרון משוואות אלו נותן את הפוטנציאלים המעוכבים למטה (כולם ביחידות SI).
עבור שדות תלויי זמן
עבור שדות תלויי זמן, הפוטנציאלים המעוכבים הם: [3][4]
- $ \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ' $
- $ \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,. $
כאשר r הוא נקודה במרחב, t הוא הזמן, ו-
- $ t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}} $
הוא הזמן המעוכב, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): d^3\mathbf{r'} הוא גורם האינטגרציה לפי $ \mathbf {r'} $ .
מ-φ( r, t) ו- A ( r, t ), ניתן לחשב את השדות E ( r, t ) ו- B ( r, t ) באמצעות הגדרת הפוטנציאלים:
- $ -\mathbf {E} =\nabla \varphi +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,. $
השוואה לפוטנציאלים סטטיים עבור שדות בלתי-תלויים בזמן
במקרה שהשדות אינם תלויי זמן (שדות אלקטרוסטטיים ומגנטוסטטיים), נגזרות הזמן של האופרטור $ \Box $ מתאפסות, והמשוואות של מקסוול מצטמצמות ל:
- $ \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} \,, $
כאשר $ \nabla ^{2} $ הוא הלפלסיאן.
המשוואות מקבלות צורה של משוואות פואסון בארבעה רכיבים (אחד עבור φ ושלושה עבור A), והפתרונות שלהן הם:
- $ \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ' $
- $ \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,. $
אלה גם נובעים ישירות מהפוטנציאלים המעוכבים.
פוטנציאל ליאנארד-ויקרט
במקרה הפרטי שבו השדה החשמלי נגרם עקב מטען נקודתי בודד שמסלולו $ \mathbf {r_{s}} (t) $, הפוטנציאלים המעוכבים המתקבלים בכיול לורנץ הם פוטנציאלי ליאנארד-ויקרט, על שמם של אלפרד-מארי לינארד ואמיל ויקרט. פוטנציאלים אלו הם[5][6]:
$ \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot \mathbf {\beta } _{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}} $
$ \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}c}{4\pi }}\left({\frac {q\mathbf {\beta } _{s}}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot \mathbf {\beta } _{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}} $
זאת כאשר:
- $ \mathbf {\beta } _{s}={\frac {1}{c}}{\frac {d\mathbf {r} _{s}}{dt}} $ היא מהירות המטען המנורמלת למהירות האור
- $ |\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}| $ הוא המרחק בין נקודת המדידה של הפוטנציאל לבין מיקום המקור
- $ \mathbf {n} _{s}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}} $ הוא וקטור היחידה המקשר מהמקור אל נקודת המדידה
- הסימן $ (...)_{t_{r}} $ משמעותו חישוב הערך שבתוך הסוגריים בזמן המעוכב $ t_{r}=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}| $
נשים לב שכדי למצוא את הזמן המעוכב עלינו לפתור את המשוואה:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): |\mathbf{r}-\mathbf{r}_s(t_r)|=c(t-t_r)
בכיול קולון
בכיול קולון, משוואות מקסוול הן[4]
- $ \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}} $
- $ \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +{\dfrac {1}{c^{2}}}\nabla \left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)\,, $
הפתרונות המתקבלים בכיול זה שונים מהפתרונות המתקבלים בכיול לורנץ מכיוון ש-A הוא פוטנציאל מעוכב אך φ משתנה באופן מיידי, לפי:
- $ \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ' $
- $ \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla \times \int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r'} \int _{0}^{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/c}\mathrm {d} t_{r}{\dfrac {t_{r}\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t-t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,. $
התוצאה מציגה יתרון וחיסרון של כיול קולון: φ ניתן לחישוב בקלות מהתפלגות המטען ρ אך לא ניתן לחשב את A מההתפלגות הנוכחית j. עם זאת, בתנאי שאנו דורשים שהפוטנציאלים יתאפסו באינסוף, הם יכולים לבוא לידי ביטוי בצורה מסודרת במונחים של השדות:
- $ \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \cdot \mathbf {E} ({r}',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ' $
- $ \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \times \mathbf {B} ({r}',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ' $
בכבידה לינארית
הפוטנציאל המעוכב בגרסה הלינארית של תורת היחסות הכללית דומה מאוד למקרה האלקטרומגנטי. הטנזור בעל העקבה ההפוכה $ {\tilde {h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }h $ ממלא את התפקיד של פוטנציאל ארבעת הווקטורים, הכיול ההרמוני $ {\tilde {h}}^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0 $ מחליף את כיול לורנץ האלקטרומגנטי, משוואות השדה הן $ \Box {\tilde {h}}_{\mu \nu }=-16\pi GT_{\mu \nu } $, ופתרון הגל המעוכב הוא:
- $ {\tilde {h}}_{\mu \nu }(\mathbf {r} ,t)=4G\int {\frac {T_{\mu \nu }(\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ' $.[7]
ראו גם
הערות שוליים
- ↑ Rohrlich, F (1993). "Potentials". In Parker, S.P. (ed.). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). New York. p. 1072. ISBN 0-07-051400-3.
- ↑ Garg, A., Classical Electromagnetism in a Nutshell, 2012, p. 129
- ↑ Electromagnetism (2nd Edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, מסת"ב 978-0-471-92712-9
- ^ 4.0 4.1 Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, מסת"ב 81-7758-293-3
- ↑ Andrew T. Hyman, Non-Uniqueness of the Lienard-Wiechert Potential, arXiv:1206.0931 [physics], 2019-03-15
- ↑ J. M. Aguirregabiria, A. Hernández, M. Rivas, The Liénard–Wiechert potential and the retarded shape of a moving sphere, American Journal of Physics 60, 1992-07-01, עמ' 597–599 doi: 10.1119/1.17112
- ↑ Sean M. Carroll, "Lecture Notes on General Relativity" (arXiv:gr-qc/9712019), equations 6.20, 6.21, 6.22, 6.74
פוטנציאל מעוכב33051370Q1320019