עקום המומנטים

עקום המומנטים במרחב התלת-ממדי (ירוק). העקום מתקבל כחיתוך של המשטח $(t,t^{2},s)$ עם המשטח $(t,s,t^{3})$ (הצירים בתמונה נוטים ב-90 מעלות למקובל)

במתמטיקה, עקום המומנטים הוא עקום אלגברי במרחב האוקלידי ה-$n$-ממדי, המוגדר כאוסף הנקודות מהצורה $(t,t^{2},\ldots ,t^{n})$ לכל $t$ ממשי.

למשל, במישור, עקום המומנטים הוא פרבולה.

כל על-מישור במרחב חותך את עקום המומנטים לכל היותר ב-$n$ נקודות (למשל ישר במישור חותך פרבולה בשתי נקודות לכל היותר). תכונה זו שימושית במיוחד בגאומטריה דיסקרטית ובקומבינטוריקה טופולוגית. בענפים אלו משתמשים בעקום המומנטים כדי לקודד מידע גאומטרי-טופולוגי (חיתוך בין גופים מרחביים) ולתרגמו למידע קומבינטורי (מספר נקודות החיתוך).

תכונות

על-מישור במרחב ה-$n$-ממדי מוגדר כקבוצה מהצורה

$H_{{\vec {a}},d}={\bigl \{}{\vec {x}}:({\vec {a}},{\vec {x}})=d{\bigr \}}={\Big \{}(x_{1},\ldots ,x_{n}):a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=d{\Big \}}$

כאשר ${\vec {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ וקטור כיוון ו-$d$ סקלר קבועים.

אם $t$ מספר ממשי כך שעקום המומנטים בנקודה $t$ חותך את העל-מישור $H_{{\vec {a}},d}$ אז מתקיים:

$a_{1}t+\cdots +a_{n}t^{n}=d$

זהו פולינום ממעלה $n$ ולכן יש לו לכל היותר $n$ פתרונות שונים. מכאן שעקום המומנטים חותך כל על-מישור לכל היותר ב-$n$ נקודות.

אם החיתוך בין על-מישור לעקום המומנטים מכיל בדיוק $n$ נקודות, אזי הפולינום המתאים ספרבילי (הנגזרת בחיתוך אינה מתאפסת) ועקום המומנטים חוצה בכל נקודת לצד השני של העל-מישור.

עקום המומנטים נותן חסם על מספר החלקים שניתן לחלק גוף $n$-ממדי עם $n$ על-מישורים. $n$ על-מישורים חותכים את עקום המומנטים לכל היותר ב-$n^{2}$ נקודות, ולכן מחלקים אותו לכל היותר $n^{2}+1$ חלקים.

בעיה ידועה שואלת האם ניתן לחלק כל גוף עם מסה (שלא בהכרח מפוזרת באופן אחיד בתוכו) במרחב ה-$n$-ממדי ל-$2^{n}$ חלקים שווים במסתם באמצעות $n$ על-מישורים. בישר ניתן לעשות זאת באמצעות משפט ערך הביניים. במישור ניתן באמצעות כלל הסנדוויץ'. ידוע שהדבר אפשרי במרחב התלת-ממדי והשאלה האם זה אפשרי במרחב הארבע-ממדי עודנה פתוחה. לכל $n\geq 5$ הדבר בלתי-אפשרי, כי $n^{2}+1<2^{n}$ ולכן כלל לא ניתן לחלק את עקום המומנטים למספיק חלקים.

ראו גם

• הלמה של גייל