בגאומטריה אוקלידית, נוסחת ברהמגופטה, היא נוסחה לחישוב שטח של מרובע בר חסימה, על בסיס צלעותיו. פותחה על ידי המתמטיקאי ההודי בראהמגופטה.
נוסחה
שטח K של מרובע בר חסימה, שאורך צלעותיו הם a ,b ,c ,d, ו-s הוא מחצית ההיקף של הצורה (
) הוא:
![{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8cb45405637b84a20fb873e4185313f25466de)
הנוסחה היא הכללה לנוסחת הרון למשולשים, וניתן להסתכל עליה כך כאשר אורך אחת הצלעות הוא 0. ניתן לרשום את הנוסחה גם מהצורה:
![{\displaystyle K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a990a5c59df191cd367e83d0753b722d0b900d8f)
![{\displaystyle K={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}+8abcd-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}{4}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2948bf13bd61cb8fd6e01843908bff70c1e7a93c)
הוכחה
אנחנו נביא כאן הוכחה שבה השתמשנו באלגברה ובטריגונומטריה, והוכחה זה היא שונה מהוכחתו המקורית של ברהמגופטה.
מרובע חסום ABCD ששטחו K הוא סכום השטחים של המשלושים ADB△ ו-BDC△,
![{\displaystyle K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfe0c4e6edee296f784fde443496186e5545c2ea)
מכיוון שמרובע ABCD הוא בר חסימה, אז DAB = 180° − ∠DCB∠, מכאן sin A = sin C,אז ניתן לרשום את השטח כ-
![{\displaystyle K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/172f4b493b83334e0615cd447612e56002962062)
ומכאן:
![{\displaystyle K^{2}={\frac {1}{4}}(pq+rs)^{2}\sin ^{2}A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6016a3ad6d743f1ddae4d54109d1d96e457c38da)
![{\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}(1-\cos ^{2}A)=(pq+rs)^{2}-(pq+rs)^{2}\cos ^{2}A.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/857638258913aa1a1cbf3f84a2dc47cc30e431b7)
ניתן לפתור עבור צלע DB במשולש ADB△ על ידי משפט הקוסינוסים, אז
![{\displaystyle p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a529d79b8839a12344fba66f2699bc90f26911)
ובגלל ש-cos C = −cos A (מכיוון שהם זוויות שמשלימות ל-360), ומכאן
![{\displaystyle 2(pq+rs)\cos A=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b9fd7b5cd2b9656fc40e9446b00681209a7851)
אז
![{\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c4ab45e540b0a987c497249a93f0ecb3191ff1)
![{\displaystyle 16K^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a073751bd7d34fdba40da8adf3dc0649eb61b793)
ניתן לפרק את הביטוי על ידי נוסחת כפל מקוצר, אז
![{\displaystyle [2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2}][2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3e3b589c2b7d832e18139d539a9b8658dfed2b)
ולאחר מכנה משותף,
![{\displaystyle =[(r+s)^{2}-(p-q)^{2}][(p+q)^{2}-(r-s)^{2}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/506504ce20073b3e8c0b2893d36fdffe6f2e4810)
![{\displaystyle =(q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ecda588822917555cf3b80a618a57442d6b712e)
ועל ידי הצבה של מחצית ההיקף S, אז נקבל
![{\displaystyle 16K^{2}=16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437650825ea207dd7897afd4ac389fa72375dce1)
נוציא שורש ונחלק ב-16,ונקבל את הנוסחה:
![{\displaystyle K={\sqrt {(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d94f17ab8744998e1e6890be6077c3bf2e261ef)
הכללות
ניתן להכליל את הנוסחה למרובע שאינו בר חסימה,
![{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/258ab9e2e08d4322045614868cea12dd42cb405e)
כאשר θ זה מחצית סכום הזוויות ההפוכות (בחירת הזוויות היא שרירותית, כי אם נבחר את הזוג השני, אז הזווית תהיה 180 פחות θ, אז cos(180° − θ) = −cos θ, ומכאן cos2(180° − θ) = cos2 θ, אז הזוויות לא משנה), נוסחה זו ידועה בתור נוסחת ברטשניידר. כאשר המרובע הוא בר חסימה, אז θ שווה ל-90°, אז:
![{\displaystyle abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/406f640610f49285510edaca69c875f93b58ec18)
קישורים חיצוניים
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
פרמטרי חובה [ פריט ] חסרים 29790479נוסחת ברהמגופטה