משפט צ'בה

בגאומטריה האוקלידית, משפט צ'בה קובע שאם מחברים כל קודקוד במשולש לנקודה על הצלע שמולו, ושלושת הקטעים נפגשים בנקודה, אז מכפלת יחסי החלוקה היא 1; ולהפך - אם מכפלת יחסי החלוקה היא 1, אז הקטעים נפגשים בנקודה. במשפט זה, יחס החלוקה מחושב עם סימן, והוא נכון גם לגבי חלוקה חיצונית. עבור הישרים AD, BE ו-CF (ראו ציור), המכפלה היא ${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{CD}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1$ .

ניסוח נוסף של המשפט המשתמש בזוויות, המכונה "משפט צ'בה הזוויתי" הוא:

{\frac {\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}}\cdot {\frac {\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}}\cdot {\frac {\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE}}=1.

ניתן להוכיח שהניסוחים שקולים בעזרת שימוש במשפט הסינוסים.

משפטים ידועים אחרים על נקודות מיוחדות של משולש הם מסקנות ממשפט צ'בה:

העובדה ששלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה היא מקרה פרטי, שבו כל היחסים שווים לאחד.
העובדה ששלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה נובעת משילוב של משפט צ'בה יחד עם המשפט שחוצה זווית מחלק את הצלע שמול הזווית ביחס ששווה ליחס בין שוקי הזווית (משפט חוצה הזווית).
העובדה ששלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה נובעת ממשפט צ'בה, שכן ניתן לזהות את היחס שבו מחלק הגובה את הצלע אליה הוא מורד כיחס הטנגנסים של הזוויות האחרות במשולש.

הוכחה

יש למשפט כמה וכמה הוכחות גאומטריות, אבל ההוכחה בשיטות של גאומטריה אנליטית היא כנראה הפשוטה מכולן. מכיוון שהנקודות A,B,C אינן על קו ישר אחד, כל נקודה במישור, ובפרט O (ראו ציור) היא ממוצע משוקלל שלהן, כלומר, קיימים משקלים $\ \alpha ,\beta ,\gamma$ , שסכומם 1, כך שמתקיים: $\ \alpha A+\beta B+\gamma C=O$ .

מכיוון שהנקודה D נמצאת על ישר אחד עם O ו-A, ועל ישר אחר עם B ו-C, מתקיים: $D={\frac {\beta }{\beta +\gamma }}B+{\frac {\gamma }{\beta +\gamma }}C$ . לכן ${\frac {BD}{CD}}={\frac {\gamma }{\beta }}$ , ובאופן דומה, ${\frac {AF}{FB}}={\frac {\beta }{\alpha }}$ , ו- ${\frac {CE}{EA}}={\frac {\alpha }{\gamma }}$ . כלומר, טענת המשפט היא ש- ${\frac {\beta }{\alpha }}\cdot {\frac {\gamma }{\beta }}\cdot {\frac {\alpha }{\gamma }}=1$ , והטענה הזו טריוויאלית.