משפט מנלאוס

מקרה 1: שתי נקודות על הצלעות ונקודה שלישית בהמשך הצלע השלישית

מקרה 2: כל הנקודות על המשכי הצלעות

בגאומטריה אוקלידית, משפט מנלאוס נותן תנאי הכרחי ומספיק לכך ששלוש נקודות על צלעות משולש, או המשכיהן, תהיינה מונחות על ישר אחד.

המשפט קובע (לפי הסימונים שבשרטוטים בצד שמאל) שהנקודות $D,E,F$ על ישר אחד (בשרטוט – הישר הסגול) אם ורק אם מתקיים

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=-1$

(כאשר היחסים מסומנים על־פי הכיוון).

הוכחה

נטיל את שלוש הנקודות לישר המאונך לישר $DE$ ; נסמן כל נקודה בהיטל באות של הנקודה המקורית עם תג ('). על־פי משפט תאלס, משפט מנלאוס שאנו רוצים להוכיח שקול לקביעה כי $D',F'$ מתלכדות אם ורק אם

${\frac {A'F'}{F'B'}}\cdot {\frac {B'D'}{D'C'}}\cdot {\frac {C'D'}{D'A'}}=-1$

ונוסחה זו שקולה לנוסחה ${\frac {A'F'}{F'B'}}\cdot {\frac {B'D'}{D'A'}}=1$ , השקולה לנוסחה ${\frac {A'F'}{F'B'}}={\frac {A'D'}{D'B'}}$ . ברור שזה מתקיים אם ורק אם הנקודות מתלכדות.

ראו גם

• משפט צ'בה