משפט נתר (פיזיקה)

משפט נתר הוא משפט בפיזיקה תאורטית הקושר בין סימטריות של מערכת פיזיקלית וחוקי שימור שהיא מקיימת. כך למשל, חוק שימור התנע נובע מסימטריה של מערכת להזזות (כלומר התנע נשמר כאשר מאפייני המערכת אינם תלויים במיקומה). המשפט קרוי על שם המתמטיקאית אמי נתר שהוכיחה אותו במהלך מחקר של בעיות בחוק שימור האנרגיה בתורת היחסות הכללית. המשפט והוכחתו פורסמו במאמר בשנת 1918.

ניסוח פורמלי

ניתן לנסח את משפט נתר באופן הבא:

עבור כל סימטריה רציפה (וגזירה) של הפעולה, קיים גודל שמור.

ניסוח מתמטי:

בהינתן לגראנז'יאן ${\mathcal {L}}(\phi (x_{\mu }),\partial _{\mu }\phi ,x_{\mu })$, נניח שהפעולה

${\mathcal {S}}[\phi ]\,=\,\int \mathrm {d} x_{\mu }{\mathcal {L}}(\phi (x_{\mu }),\partial _{\mu }\phi (x),x_{\mu })$

אינווריאנטית תחת טרנספורמציה התלויה באופן רציף וגזיר בפרמטר $\ \alpha$ על ידי:

$x\rightarrow y(x,\alpha ),\quad \phi \rightarrow \psi (\phi ,\alpha )$.

כאשר

$\ x_{\mu }=(x_{0},x_{i})=(t,x_{i})$

אזי קיים זרם שמור $\ J^{\mu }$ המקיים משוואת רציפות $\sum _{\mu }\partial _{\mu }J^{\mu }=0$.

הזרם נתון על ידי

$$\ J^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta \phi -\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\partial _{\nu }\phi -g_{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}\right)\delta x^{\nu }$$

כאשר g היא המטריקה ו-$\ g_{\nu }^{\mu }=\delta _{\mu ,\nu }$ היא דלתא של קרונקר.

מזרם זה ניתן לקבל את המטען השמור $Q=\int d^{3}xJ^{0}$ המקיים

${\frac {dQ}{dt}}={\frac {dQ}{dx_{0}}}=0$.

הגודל $\theta _{\nu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\partial _{\nu }\phi -g_{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}$ נקרא טנזור צפיפות המאמץ-אנרגיה ועל ידי ביצוע סימטריזציה שלו אפשר לקבל את טנזור המאמץ-אנרגיה היחסותי $\ T^{\mu \nu }$.

משפט נתר במכניקת הקוונטים

במכניקת הקוונטים, בה משוואת שרדינגר תלויה בהמילטוניאן, מקבל משפט נתר את הצורה הבאה:

תהי $T$ טרנפורמציה אוניטרית רציפה, המוגדרת באמצעות האופרטור G, יוצר הטרנספורמציה:

$T=\exp {\left(-{\frac {i}{\hbar }}\varepsilon G\right)}$

T היא סימטריה של המערכת (כלומר, $[T,H]=0$) אם ורק אם G הוא קבוע (בזמן) של התנועה.

הוכחה

התנאי $[T,H]=0$ שקול לתנאי $T^{\dagger }HT=H$. השוויון נכון גם לכל סדר בפיתוח טיילור של האופרטור ב־$\varepsilon$, ובפרט לסדר הראשון:

$\ \left(1+{\frac {i}{\hbar }}\varepsilon G+O(\varepsilon ^{2})\right)H\left(1-{\frac {i}{\hbar }}\varepsilon G+O(\varepsilon ^{2})\right)$

בעזרת קיבוץ איברים מתקבל השוויון:

$\ H+{\frac {i}{\hbar }}\varepsilon [G,H]+O(\varepsilon ^{2})=H$

השקול לתנאי:

$[G,H]=GH-HG=0$

אבל, מאחר שההמילטוניאן הוא יוצר של ההתקדמות בזמן,

$[G,H]=i\hbar {\frac {\partial G}{\partial t}}$

ולכן,

$\ {\frac {\partial G}{\partial t}}=0$

כלומר, G הוא קבוע של התנועה.

שימושים

בעזרת משפט נתר ניתן לקבל את חוקי השימור הבאים:

• חוק שימור האנרגיה הנובע מסימטריה להזזה בזמן.
• חוק שימור התנע הקווי הנובע מסימטריה להזזה מרחבית.
• חוק שימור התנע הזוויתי הנובע מסימטריה לסיבוב.
• חוק שימור המטען החשמלי הנובע מסימטריית כיול.

ועוד חוקי שימור נוספים, כגון חוקי שימור של המספר הבריוני והלפטוני.

חשיבות המשפט

למשפט נתר חשיבות גדולה בפיזיקה תאורטית. המשפט קושר בין כל חוקי השימור הפיזיקליים (כולם נובעים בעצם מאותה סיבה בסיסית - סימטריה). יתירה מזו, חוקי השימור הבסיסיים והחשובים (אנרגיה, תנע, תנע זוויתי) נובעים בעצם מהנחות מאוד בסיסיות ואינטואיטיביות - ההומוגניות והאיזוטרופיות של חוקי הפיזיקה (כלומר ההנחה שחוקי הפיזיקה אינם תלויים בזמן ובמרחב, ואותם חוקים התקפים כאן ועכשיו יהיו תקפים לעולם וגם בגלקסיות רחוקות).

קישורים חיצוניים

• המאמר המקורי של אמי נתר (בגרמנית)
• תרגום לאנגלית של המאמר המקורי של אמי נתר
• מאמר היסטורי על משפט נתר (באנגלית)
• שמור לי ואשמור לך: גדלים נשמרים וסימטרייה מאמר פופולרי מאת מיכל סחף, באתר הספרייה הווירטואלית של מט"ח.