משפט נקודת השבת של קאקוטאני

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

באנליזה פונקציונלית, משפט נקודת השבת של קאקוטאני, הנקרא על שם המתמטיקאי שיזואו קאקוטאני (Shizuo Kakutani), אומר כי במרחב קמור מקומית לפעולה רציפה של חבורת העתקות אפיניות על קבוצה קומפקטית קמורה יש נקודת שבת.

ניסוח המשפט

יהי $X$ מרחב וקטורי קמור מקומית ותהי $K\subset X$ קבוצה קמורה קומפקטית. תהי $G$ חבורה ביחס להרכבה של העתקות אפיניות מ- $K$ ל- $K$ . נניח שההעתקות רציפות במידה אחידה, כלומר לכל סביבה $W$ של אפס קיימת סביבה $V$ של אפס כך שלכל $T\in G,x,y\in K$ אם $x-y\in V$ אז $Tx-Ty\in W$ . אז לכל העתקות שב- $G$ יש נקודת שבת משותפת ב- $K$ .

הוכחה

נעזר בלמה הטופולוגית הבאה:

למה: יהיו $A,B$ מרחבים טופולוגיים כך ש- $B$ קומפקטי. תהי $\pi :A\times B\to A$ ההטלה הטבעית ו- $E\subset A\times B$ . נניח ש $p\in {\overline {\pi (A)}}$ אז קיימת נקודה $q\in B$ כך ש $(p,q)\in {\overline {E}}$ .

הוכחה: נניח שלא. לכן לכל $q\in B$ קיימות סביבות $q\in W_{q}$ וכן $p\in V_{q}$ כך ש- $(V_{q}\times W_{q})\cap E=\emptyset$ . מהקומפקטיות של B ישנן $\{q_{i}\}_{1\leq i\leq n}$ כך ש- $B=\cup _{i=1}^{n}W_{q_{i}}$ . לכן עבור $p\in \cap _{i=1}^{n}V_{i}:=V$ נקבל ש- $V\cap E=\emptyset$ סתירה לכך ש- $p\in {\overline {\pi (A)}}$ .

המשך הוכחה: תהי $\Omega$ אוסף כל תתי הקבוצות $H\subset K$ הקמורות, קומפקטיות ולא ריקות המקיימות $T(H)\subset H$ לכל $T\in G$ . כיוון ש- $K\in \Omega$ נקבל כי $\Omega \neq \emptyset$ . כמו כן אם $\{H_{i}\}_{i\in I}\subset \Omega$ אז גם החיתוך $\cap _{i\in I}H_{i}$ נמצא ב- $\Omega$ (הוא לא ריק מקומפקטיות). מהלמה של צורן נקבל שיש ב- $\Omega$ איבר מינימלי $Q$ . אם נראה ש- $Q$ מכילה נקודה בודדת נסיים. נניח שלא. לכן קיימות $x,y\in Q,x-y\not \in W$ עבור $W$ סביבה של 0. תהי $V$ הסביבה המתאימה ל- $W$ מתנאי הרציפות במידה אחידה. אם יש $T\in G$ כך ש- $Tx-Ty\in V$ אז נקבל $x-y=T^{-1}(Tx)-T^{-1}(Ty)\in W$ (קיימות העתקות הופכיות כיוון ש- $G$ חבורה) סתירה. לכן לכל $T\in G$ , $Tx-Ty\not \in V$ . תהי $z={\tfrac {x+y}{2}}$ . מקמירות $z\in Q$ . נתבונן במסלול של $z$ תחת הפעולה של $G$ , $G(z)=\{Tz|T\in G\}$ . זוהי קבוצה $G$ אינווריינטית ולכן גם $K_{0}={\overline {G(z)}}$ וגם $K_{1}={\overline {conv(K_{0})}}$ קבוצות $G$ אינווריינטיות. $K_{1}$ קבוצה קמורה, קומפקטית לא ריקה ו- $G$ אינווריינטית המוכלת ב- $Q$ . ממינימליות $Q$ נקבל ש- $K_{1}=Q$ . ממשפט קריין-מילמן קיימת נקודה $p$ קיצונית של הקבוצה $Q$ . $p\in K_{0}$ . נתבונן בקבוצה הבאה $E=\{(Tx,Ty,Tz)|T\in G\}$ . כיוון ש- $p\in K_{0}={\overline {G(z)}}$ וכן $Q\times Q$ קומפקטית נקבל מהלמה שיש נקודה $x',y'\in Q$ כך ש- $(x',y',p)\in {\overline {E}}$ . כיוון ש- $2Tz=Tx+Ty\forall T\in G$ , נקבל ש- $2p=x'+y'$ ומהקיצוניות של $p$ נקבל ש- $x'=y'$ . אבל לכל $T\in G$ , $Tx-Ty\not \in V$ ולכן $x'-y'\not \in V\ni 0$ סתירה. קיבלנו סתירה ולכן $Q$ מכילה רק נקודה אחת וסיימנו.

שימושים

משפט נקודת השבת מאפשר להוכיח את הקיום של מידת האר.

תוצאות נוספות

משפט נקודת השבת של קאקוטאני-מרקוב: יהיו $X$ מרחב וקטורי טופולוגי ו- $K\subset X$ קמורה קומפקטית ולא ריקה. נניח ${\mathcal {F}}$ קבוצה של העתקות אפיניות מתחלפות ( $S\circ T=T\circ S\forall S,T\in {\mathcal {F}}$ ) מ- $K$ ל- $K$ . אז יש ל- ${\mathcal {F}}$ נקודת שבת משותפת. המשפט משמש להוכיח נוסח של משפט האן-בנך שבו מוסיפים גם דרישה של אינווריינטיות ביחס לקבוצה כזאת של העתקות.
ישנו משפט נוסף הנקרא משפט נקודת השבת של קאקוטאני^[1] המתייחס בעיקר למרחבים מממד סופי: תהי $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ קבוצה קומפקטית קמורה ולא ריקה. תהי $\phi :K\to P(K)$ פונקציה עם גרף סגור וכן נניח שלכל $x\in K$ , $\phi (x)$ קבוצה קמורה לא ריקה. אז יש ל- $\phi$ נקודת שבת, כלומר קיימת נקודה $a\in K$ כך ש $a\in \phi (a)$ . המשפט שימושי לתורת המשחקים ולכלכלה בכך שהוא מאפשר להוכיח קיום של "מצבים יציבים": למשל קיום שיווי משקל נאש, משפט המינימקס וכו'.