משפט האן-בנך

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

משפט האן-בנך הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית העוסק בהרחבה של פונקציונל $ \ f_{0} $ מתת-מרחב של מרחב בנך, אל המרחב כולו. המשפט נוסח והוכח על ידי סטפן בנך והאנס האן, כל אחד לחוד ובאופן בלתי תלוי, בשנות ה-20 של המאה ה-20.

המשפט

יהי $ \,L $ מרחב בנך מעל השדה $ \,F $ (שדה הממשיים או המרוכבים), עם תת-מרחב $ \ L_{0}\subset L $, ופונקציה תת-ליניארית $ \ \rho :L\rightarrow {\mathbb {R} } $ (פונקציה זו מכונה לעיתים מז'ורנטה).
אזי כל פונקציונל ליניארי $ \ f_{0}:L_{0}\rightarrow F $ החסום על ידי $ \ \rho $ (כלומר: $ \ |f_{0}(x)|\leq \rho (x) $ לכל $ \ x\in L_{0} $) אפשר להרחיב לפונקציונל $ \ f:L\rightarrow F $ שגם הוא חסום באותו אופן.

כלומר:

  1. $ \ \forall x\in L_{0}\ :\ f(x)=f_{0}(x) $ (כלומר: $ \ f $ הוא אכן הרחבה של $ \ f_{0} $).
  2. $ \ \forall x\in L\ :\ |f(x)|\leq \rho (x) $ (כלומר: $ \ f $ חסום גם כן על ידי $ \,\rho $).

מסקנות ושימושים

  • קיום הרחבה שומרת נורמה:
אם $ \ L $ הוא מרחב בנך ו-$ \ M $ הוא תת-מרחב שלו, ואם $ f_{0}:M\to \mathbb {R} $ הוא פונקציונל רציף (כלומר, חסום) על $ \ M $, אזי קיימת לו הרחבה $ f:L\to \mathbb {R} $ רציפה, ובעלת אותה נורמה, כלומר: $ \|f_{0}\|_{L_{0}^{*}}=\|f\|_{L^{*}} $. זו היא מסקנה ישירה מכך שפונקציונל הוא רציף אם ורק אם הוא חסום, כלומר: $ \ f_{0}(x)\leq \|f_{0}\|_{*}\cdot \|x\| $, ומכך שהנורמה היא פונקציה תת-ליניארית ולכן יכולה לשמש כמז'ורנטה במשפט האן-בנך. בניסוח קטגורי, ניתן לנסח מסקנה זו כך: בקטגוריה של מרחבי בנך, $ \,\mathbb {R} $ הוא אובייקט אינג'קטיבי.
  • משפט ההפרדה בין נקודות:
$ \ \forall x_{0}\neq 0\ :\ \exists f_{0}\neq 0\ {\mbox{bounded functional}}\,\ {\mbox{such that}}\ :\ \ f_{0}(x_{0})=\|f_{0}\|\cdot \|x_{0}\|\neq 0 $.
בפרט, אם נגדיר $ \ x_{0}=x_{1}-x_{2} $ עבור $ \ x_{1}\neq x_{2} $ אזי נקבל שקיים פונקציונל $ \ f_{0}\neq 0 $ כך ש $ \ f_{0}(x_{1})\neq f_{0}(x_{2}) $. כלומר: קיים פונקציונל המפריד בין שתי נקודות שונות.
  • משפט ההפרדה בין תת-מרחב לנקודה:
יהי $ \ L $ מרחב בנך ויהי $ \ M $ הוא תת-מרחב שלו (לא בהכרח סגור). תהי $ \ z\notin {\overline {M}} $ נקודה שאיננה בסגור של $ \ M $, אזי קיים פונקציונל רציף (חסום) $ \ f:M\to \mathbb {R} $ כך ש:
  1. $ \ \forall x\in M\ :\ f(x)=0 $ ,
  2. $ \ f(z)=1 $
  3. ומתקיים ש $ \ \|f\|=(\|z\|)^{-1} $

הוכחת המשפט

הוכחת המשפט נעזרת בלמה של צורן. מסתכלים על קבוצת כל ההרחבות של $ \,f_{0} $ החסומות על ידי $ \,\rho $ לתת-מרחב כלשהו $ \ L_{0}\subset L_{\alpha }\subset L $ עם יחס הסדר "הרחבה של" (נסמן קבוצה זאת ב-$ \,E $). זהו מרחב סדור וקל לראות שלכל שרשרת בו יש איבר מקסימלי. לכן, לפי הלמה של צורן, קיים איבר מקסימלי ב-$ \,E $ שמהווה הרחבה של $ \,f_{0} $ המקיימת את הנדרש. נותר להראות שזו אכן הרחבה על כל $ \,L $.

עושים זאת באמצעות הוכחה על דרך השלילה. מניחים שההרחבה המקסימלית ב-$ \,E $ מוגדרת על תת-מרחב $ \ L'\subset L $, כאשר $ \ L'\neq L $. אזי קיים $ \ y\in L-L' $ ולכן אפשר לבנות במפורש הרחבה החסומה על ידי $ \ \rho $, המוגדרת על ידי:

$ \ \forall z\in {\mbox{span}}\left(L'\cup \{y\}\right)\ :\ f(z)=f(x+\lambda y)=f'(x)+\lambda y' $

כאשר $ \ z=x+\lambda y $ פירוק יחיד של $ \,z $ כאשר $ \ x\in L' $ ו-$ \,f' $ הוא ההרחבה המקסימלית על $ \,L' $ (והם איברי המשפחה $ \,E $). כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך $ \ f'(y)=y' $ כך שלכל $ \,z $ בתחום ההגדרה יתקיים $ \ f'(x)+\lambda y'=f(z)\leq \rho (z) $. באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א (חסם עליון) ושימוש בתכונותיה של פונקציה תת-ליניארית אפשר להראות שקיים $ \,y' $ כנדרש. בכך בנינו הרחבה ל-$ \,f' $ מ-$ \,L' $ לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב-$ \,E $.

מכיוון שהצלחנו לבנות הרחבה לאיבר המקסימלי של $ \,E $, וניתן לראות בקלות שגם היא ב-$ \,E $, נובע שהוא לא איבר מקסימלי וזו סתירה.

לכן, האיבר המקסימלי של $ \,E $ מוגדר היטב על כל $ \,L $ ומהווה הרחבה של $ \,f_{0} $ המקיימת את הנדרש. $ \blacksquare $

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט האן-בנך36031060Q866116