משפט האן-בנך הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית העוסק בהרחבה של פונקציונל
מתת-מרחב של מרחב בנך, אל המרחב כולו. המשפט נוסח והוכח על ידי סטפן בנך והאנס האן, כל אחד לחוד ובאופן בלתי תלוי, בשנות ה-20 של המאה ה-20.
המשפט
יהי
מרחב בנך מעל השדה
(שדה הממשיים או המרוכבים), עם תת-מרחב
, ופונקציה תת-ליניארית
(פונקציה זו מכונה לעיתים מז'ורנטה).
אזי כל פונקציונל ליניארי
החסום על ידי
(כלומר:
לכל
) אפשר להרחיב לפונקציונל
שגם הוא חסום באותו אופן.
כלומר:
(כלומר:
הוא אכן הרחבה של
).
(כלומר:
חסום גם כן על ידי
).
מסקנות ושימושים
- אם
הוא מרחב בנך ו-
הוא תת-מרחב שלו, ואם
הוא פונקציונל רציף (כלומר, חסום) על
, אזי קיימת לו הרחבה
רציפה, ובעלת אותה נורמה, כלומר:
. זו היא מסקנה ישירה מכך שפונקציונל הוא רציף אם ורק אם הוא חסום, כלומר:
, ומכך שהנורמה היא פונקציה תת-ליניארית ולכן יכולה לשמש כמז'ורנטה במשפט האן-בנך. בניסוח קטגורי, ניתן לנסח מסקנה זו כך: בקטגוריה של מרחבי בנך,
הוא אובייקט אינג'קטיבי.
.
- בפרט, אם נגדיר
עבור
אזי נקבל שקיים פונקציונל
כך ש
. כלומר: קיים פונקציונל המפריד בין שתי נקודות שונות.
- משפט ההפרדה בין תת-מרחב לנקודה:
- יהי
מרחב בנך ויהי
הוא תת-מרחב שלו (לא בהכרח סגור). תהי
נקודה שאיננה בסגור של
, אזי קיים פונקציונל רציף (חסום)
כך ש:
,

- ומתקיים ש

הוכחת המשפט
הוכחת המשפט נעזרת בלמה של צורן. מסתכלים על קבוצת כל ההרחבות של
החסומות על ידי
לתת-מרחב כלשהו
עם יחס הסדר "הרחבה של" (נסמן קבוצה זאת ב-
). זהו מרחב סדור וקל לראות שלכל שרשרת בו יש איבר מקסימלי. לכן, לפי הלמה של צורן, קיים איבר מקסימלי ב-
שמהווה הרחבה של
המקיימת את הנדרש. נותר להראות שזו אכן הרחבה על כל
.
עושים זאת באמצעות הוכחה על דרך השלילה. מניחים שההרחבה המקסימלית ב-
מוגדרת על תת-מרחב
, כאשר
. אזי קיים
ולכן אפשר לבנות במפורש הרחבה החסומה על ידי
, המוגדרת על ידי:

כאשר
פירוק יחיד של
כאשר
ו-
הוא ההרחבה המקסימלית על
(והם איברי המשפחה
). כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך
כך שלכל
בתחום ההגדרה יתקיים
. באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א (חסם עליון) ושימוש בתכונותיה של פונקציה תת-ליניארית אפשר להראות שקיים
כנדרש. בכך בנינו הרחבה ל-
מ-
לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב-
.
מכיוון שהצלחנו לבנות הרחבה לאיבר המקסימלי של
, וניתן לראות בקלות שגם היא ב-
, נובע שהוא לא איבר מקסימלי וזו סתירה.
לכן, האיבר המקסימלי של
מוגדר היטב על כל
ומהווה הרחבה של
המקיימת את הנדרש.
ראו גם
קישורים חיצוניים
משפט האן-בנך36031060Q866116