משפט האן-בנך

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

משפט האן-בנך הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית העוסק בהרחבה של פונקציונל מתת-מרחב של מרחב בנך, אל המרחב כולו. המשפט נוסח והוכח על ידי סטפן בנך והאנס האן, כל אחד לחוד ובאופן בלתי תלוי, בשנות ה-20 של המאה ה-20.

המשפט

יהי מרחב בנך מעל השדה (שדה הממשיים או המרוכבים), עם תת-מרחב , ופונקציה תת-ליניארית (פונקציה זו מכונה לעיתים מז'ורנטה).
אזי כל פונקציונל ליניארי החסום על ידי (כלומר: לכל ) אפשר להרחיב לפונקציונל שגם הוא חסום באותו אופן.

כלומר:

  1. (כלומר: הוא אכן הרחבה של ).
  2. (כלומר: חסום גם כן על ידי ).

מסקנות ושימושים

  • קיום הרחבה שומרת נורמה:
אם הוא מרחב בנך ו- הוא תת-מרחב שלו, ואם הוא פונקציונל רציף (כלומר, חסום) על , אזי קיימת לו הרחבה רציפה, ובעלת אותה נורמה, כלומר: . זו היא מסקנה ישירה מכך שפונקציונל הוא רציף אם ורק אם הוא חסום, כלומר: , ומכך שהנורמה היא פונקציה תת-ליניארית ולכן יכולה לשמש כמז'ורנטה במשפט האן-בנך. בניסוח קטגורי, ניתן לנסח מסקנה זו כך: בקטגוריה של מרחבי בנך, הוא אובייקט אינג'קטיבי.
  • משפט ההפרדה בין נקודות:
.
בפרט, אם נגדיר עבור אזי נקבל שקיים פונקציונל כך ש . כלומר: קיים פונקציונל המפריד בין שתי נקודות שונות.
  • משפט ההפרדה בין תת-מרחב לנקודה:
יהי מרחב בנך ויהי הוא תת-מרחב שלו (לא בהכרח סגור). תהי נקודה שאיננה בסגור של , אזי קיים פונקציונל רציף (חסום) כך ש:
  1. ,
  2. ומתקיים ש

הוכחת המשפט

הוכחת המשפט נעזרת בלמה של צורן. מסתכלים על קבוצת כל ההרחבות של החסומות על ידי לתת-מרחב כלשהו עם יחס הסדר "הרחבה של" (נסמן קבוצה זאת ב-). זהו מרחב סדור וקל לראות שלכל שרשרת בו יש איבר מקסימלי. לכן, לפי הלמה של צורן, קיים איבר מקסימלי ב- שמהווה הרחבה של המקיימת את הנדרש. נותר להראות שזו אכן הרחבה על כל .

עושים זאת באמצעות הוכחה על דרך השלילה. מניחים שההרחבה המקסימלית ב- מוגדרת על תת-מרחב , כאשר . אזי קיים ולכן אפשר לבנות במפורש הרחבה החסומה על ידי , המוגדרת על ידי:

כאשר פירוק יחיד של כאשר ו- הוא ההרחבה המקסימלית על (והם איברי המשפחה ). כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך כך שלכל בתחום ההגדרה יתקיים . באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א (חסם עליון) ושימוש בתכונותיה של פונקציה תת-ליניארית אפשר להראות שקיים כנדרש. בכך בנינו הרחבה ל- מ- לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב-.

מכיוון שהצלחנו לבנות הרחבה לאיבר המקסימלי של , וניתן לראות בקלות שגם היא ב-, נובע שהוא לא איבר מקסימלי וזו סתירה.

לכן, האיבר המקסימלי של מוגדר היטב על כל ומהווה הרחבה של המקיימת את הנדרש.

ראו גם

קישורים חיצוניים

Logo hamichlol 3.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0