רציפות במידה אחידה

באנליזה מתמטית, רציפות במידה אחידה (בקיצור, רציפות במ"א) היא תכונה של משפחה של פונקציות רציפות במידה שווה בקטע. במשפחה שבה התכונה מתקיימת, אם $y$ קרוב ל- $x$ אז $f(y)$ קרוב ל- $f(x)$ לכל הפונקציות במשפחה בבת אחת.

נגדיר באופן פורמלי: יהיו $X$ מרחב טופולוגי ו- $(Y,d_{Y})$ מרחב מטרי. תהי $F\subseteq C(X,Y)$ (כלומר קבוצה של פונקציות רציפות מ- $X$ ל- $Y$ ).

נאמר ש- $F$ רציפה במידה אחידה ב- $x_{0}\in X$ אם לכל $\varepsilon >0$ קיימת סביבה $N$ של $x_{0}$ כך שלכל $x\in N$ ולכל $f\in F$ מתקיים $d_{Y}(f(x),f(x_{0}))<\varepsilon$ .
נאמר ש- $F$ רציפה במידה אחידה אם היא רציפה במידה אחידה בכל $x_{0}\in X$ .

כאשר נתון $(X,d_{X})$ מרחב מטרי, נוכל לתת את ההגדרה השקולה הבאה: $F$ רציפה במידה אחידה אם לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta =\delta (\varepsilon )>0$ כך שלכל $x,y\in X$ ולכל $f\in F$ , אם $d_{X}(x,y)<\delta$ אז $d_{Y}(f(x),f(y))<\varepsilon$ .

תוצאה חשובה הנוגעת לתכונת הרציפות במידה אחידה היא משפט ארצלה-אסקולי, הגורס כי בהינתן מרחב טופולוגי קומפקטי $X$ , קבוצה $F\subseteq C(X,\mathbb {R} ^{n})$ היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה, חסומה ורציפה במידה אחידה.

התוצאה הבאה גם היא נוגעת בתכונת הרציפות במידה אחידה, וניתן להיעזר בה בהוכחת משפט ארצלה-אסקולי: יהיו $X$ מרחב טופולוגי קומפקטי, $Y$ מרחב מטרי קומפקטי ו- $F\subseteq C(X,Y)$ . אז $F$ חסומה כליל אם ורק אם $F$ רציפה במידה אחידה.