מרחב וקטורי טופולוגי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה מרחב וקטורי טופולוגי (במקורות מסוימים קרוי גם מרחב טופולוגי ליניארי[1]) הוא קבוצה אשר מהווה מרחב וקטורי מעל המספרים הממשיים או המרוכבים וכן מוגדרת עליה טופולוגיה עבורה פעולת החיבור וכפל בסקלר מהוות פונקציות רציפות. כל מרחב הילברט ומרחב בנך הם מרחבים וקטורים טופולוגיים עם הטופולוגיה המושרית מהנורמה.

למרחבים מסוג זה יש חשיבות רבה בתחום האנליזה הפונקציונלית והם מאפשרים לחקור מקרים של התכנסות ורציפות על מרחבי פונקציות ללא שימוש במטריקה או בנורמה.

בערך זה נסמן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} מרחב וקטורי טופולוגי כלשהו. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{K}} יהיה השדה מעליו פועל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{K}=\mathbb{R}} (שדה הממשיים) או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{K}=\mathbb{C}} (שדה המרוכבים). הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{T}} תהיה הטופולוגיה על . עבור קבוצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A,B \subseteq V} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v\in V} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha \in \mathbb{K}} נסמן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A+B:=\left\{a+b \mid a\in A,b\in B\right\}}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v+A=A+v:=\left\{a+v \mid a\in A\right\}}

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \alpha A:=\left\{\alpha a\mid a\in A\right\}}

מבוא ומוטיבציה

עבור מרחבים מתמטיים מסוימים ניתן להגדיר באופן סטנדרטי מטריקה המציינת מרחק בין כל שני אובייקטים באותו מרחב. במקרים שבהם מטריקה כזאת אינה קיימת, תחום הטופולוגיה מאפשר להגדיר מונחים מופשטים כגון "קרוב" ו"רחוק" מבלי לציין מרחק ספציפי בין שני אובייקטים.

באופן זהה, פונקציית נורמה במרחב וקטורי מאפשרת לציין את ה"אורך" של וקטור מסוים במרחב, ונגזרת מכך מטריקה המוגדרת על-ידי המרחק של הפרש וקטורים. עבור מרחבים וקטוריים שאינם בעלי נורמה, מרחב וקטורי טופולוגי מאפשר להגדיר באופן ברור מונחים כגון "התכנסות" ו"רציפות" במרחב זה ללא שימוש בנורמה.

יתרה מכך, מרחבים נורמיים הם בהכרח קמורים וחסומים מקומית, בעוד שמרחבים וקטוריים טופולוגיים כלליים אינם בהכרח קמורים או חסומים מקומית. עובדה זו מאפשרת לחקור מרחבים וקטוריים בעלי גאומטריה שונה מהגיאומטריה המושרית על ידי נורמה.

הגדרה מתמטית

מרחב וקטורי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} מעל שדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{K}} ובעל טופולוגיה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{T}} יקרא מרחב וקטורי טופולוגי אם ורק אם:[2]

  1. פונקציית החיבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle +:V\times V\to V} היא פונקציה רציפה.
  2. פונקציית הכפל בסקלר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cdot:\mathbb{K}\times V\to V} היא פונקציה רציפה.
  3. הקבוצה היא קבוצה סגורה (כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V\backslash\{0\}} היא קבוצה פתוחה).

הרציפות בתנאים 1 ו-2 היא רציפות בין מרחבי המכפלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V\times V} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{K}\times V} לבין המרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} , כאשר הטופולוגיה על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{K}} היא הטופולוגיה נפרשת על ידי כדורים פתוחים.

מקורות מסוימים אינם כוללים את תנאי 3 בהגדרה זו.[3] ניתן להוכיח שבהינתן תנאים 1 ו-2, תנאי 3 שקול לכך שהמרחב הוא מרחב האוסדורף.

שימור תחת הזזה והרחבה

עבור כל קבוצה פתוחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U\subseteq V} :

  • לכל הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U+v} פתוחה.
  • לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\ne \alpha \in \mathbb{K}} הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha U} פתוחה.

כלומר, קבוצות פתוחות נשמרות תחת הזזה והרחבה. תכונות אלו מתקיימות אף עבור קבוצות סגורות.

מעבר לכך:

  • עבור קבוצה פתוחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U\subseteq V} וקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\subseteq V} כלשהי (לאו דווקא פתוחה), הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U+A} פתוחה.
  • עבור קבוצה סגורה הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle C\subseteq V} וקבוצה קומפקטית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K\subset V} , הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C+K} סגורה.

מונחים מרכזיים

בסיס מקומי

קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}} תקרא בסיס מקומי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v\in V} אם ורק אם:

  1. כל איברי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{B}} מכילים את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} (כלומר, לכל מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v\in U} )
  2. כל סביבה פתוחה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} מכילה איבר כלשהו מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{B}} (כלומר, לכל קבוצה פתוחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U\in \mathcal{T}} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v\in U} קיימת קבוצה פתוחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\in \mathcal{B}} כך ש-הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle B\subseteq U} )

ניתן להראות כי אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{B}} בסיס מקומי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v\in V} , אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{B}+v=\left\{B+v \mid B\in \mathcal{B}\right\}} הוא בסיס מקומי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} .

קבוצה מאוזנת וקבוצה סימטרית

קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\subseteq V} תקרא קבוצה מאוזנת אם ורק אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v\in B} ולכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha \in \mathbb{K}} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\alpha|\le 1} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha v\in B} .

קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S\subseteq V} תקרא קבוצה סימטרית אם ורק אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v\in B} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -v\in B} .

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{K}} הוא שדה הממשיים, קבוצה מאוזנת היא קבוצה סגורה לפעולת כיווץ (הכפלה בסקלר חיובי קטן מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} ) או היפוך כיוון (הכפלה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1} ). כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{K}} הוא שדה המרוכבים, קבוצה מאוזנת סגורה בשני מובנים אלו וגם לסיבוב בשדה המרוכבים (הכפלה בסקלר מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{i\theta}} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta} ממשי).

ניתן לראות כי כל קבוצה מאוזנת היא קבוצה סימטרית. קבוצות מאוזנות או סימטריות אינן בהכרח פתוחות או סגורות.

עבור קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\subseteq V} כלשהי ניתן להגדיר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Bal}(A):=\bigcup_{\alpha\in\mathbb{K},|\alpha|\le 1}{\alpha A}}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Sym}(A):=A\cup(-A)}

הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Bal}(A)} היא קבוצה מאוזנת והיא הקבוצה המאוזנת המינימלית המכילה את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} . באופן זהה, הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Sym}(A)} היא קבוצה סימטרית והיא הקבוצה הסימטרית המינימלית המכילה את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} .

לכל מרחב וקטורי טופולוגי קיים בסיס מקומי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} הבנוי מקבוצות מאוזנות בלבד.

קבוצה חסומה

קבוצה תקרא קבוצה חסומה אם ורק אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U} סביבה פתוחה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0<\rho\in\mathbb{R}} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\subseteq \rho U} .

ניתן להוכיח כי כל קבוצה קומפקטית היא גם חסומה. ההפך לא בהכרח נכון.

מקרים פרטיים

מרחב מטריזבילי

מרחב וקטורי טופולוגי יקרא מרחב מטריזבילי (metrizable) אם ורק אם קיימת מטריקה כלשהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} על המרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} כך שהטופולוגיה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{T}} נפרשת על ידי קבוצת הכדורים הפתוחים לפי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} . מטריקה זו תהיה אינווריאנטית תחת הזזה. כלומר, לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y,z\in V} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(x+z,y+z)=d(x,y)} .

ניתן להוכיח עבור מרחב וקטורי טופולוגי כלשהו כי אם ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} קיים בסיס מקומי בן-מנייה אז המרחב מטריזבילי. ההפך אינו בהכרח נכון.

בניגוד למרחב נורמי שבו כל כדור פתוח הוא בהכרח קמור, עבור מרחב מטריזבילי עם מטריקה כלשהי שאינה נגזרת מנורמה, ייתכן והכדורים הפתוחים אינם קמורים.

מרחב קמור מקומית

מרחב וקטורי טופולוגי יקרא מרחב קמור מקומית אם ורק אם קיים ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} בסיס מקומי המורכב מקבוצות פתוחות וקמורות. מאחר שהבסיס נשמר תחת הזזה, אם קיים בסיס כזה, ניתן ליצור בסיס דומה סביב כל וקטור במרחב. כל מרחב וקטורי טופולוגי הנוצר נורמה הוא בהכרח קמור מקומית.

למרחבים קמורים מקומית חשיבות רבה באנליזה פונקציונלית. ראשית, ניתן להוכיח שכל מרחב מסוג זה ניתן לבנייה על-פי משפחה מפרידה של נורמות למחצה (seminorms). כלומר, בהינתן קבוצה של נורמות למחצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{P}} כך שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\ne v\in V} קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\in\mathcal{P}} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(v)\ne 0} .

מרחבים קמורים מקומית מקיימים גרסה מוכללת של משפט האן-בנך.[4] כמו כן, אם המרחב קמור מקומית ומטריזבילי, ניתן להוכיח כל הכדורים הפתוחים לפי המטריקה המשרה קמורים.

מרחב חסום מקומית

מרחב וקטורי טופולוגי יקרא חסום מקומית אם ורק אם קיימת ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} סביבה חסומה. ניתן להוכיח כי כל מרחב חסום מקומית הוא מטריזבילי.

מרחב קומפקטי מקומי

מרחב וקטורי טופולוגי יקרא קומפקטי מקומית אם ורק אם קיימת ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} סביבה סגורה וקומפקטית. ניתן להוכיח כי מרחב הוא קומפקטי מקומי אם ורק אם הוא מממד סופי.

מרחב F ומרחב פרשה

מרחב וקטורי טופולוגי יקרא מרחב F אם הוא מטריזבילי ושלם, כלומר שכל סדרת קושי בו מתכנסת. אם בנוסף המרחב קמור מקומית הוא ייקרא מרחב פרשה (אין להתבלבל עם מרחב פרשה-אוריסון).

מרחבי פרשה נחשבים לגרסה חלשה יותר של מרחבי בנך וניתן להשתמש בהם במקרים שבהם לא ניתן להגדיר נורמה על המרחב.

מרחב נורמבילי

מרחב וקטורי טופולוגי יקרא מרחב נורמבילי (normable) אם ורק אם ניתן להגדיר נורמה על המרחב כך שהטופולוגיה נוצרת על-ידי בסיס של כדורים פתוחים לפי נורמה זו. כל מרחב נורמי לרבות מרחבי הילברט ובנך הוא מרחב נורמבילי.

ניתן להוכיח כי מרחב וקטורי טופולוגי כללי הוא מרחב נורמבילי אם ורק אם הוא קמור מקומית וחסום מקומית.

דוגמאות

  • כל מרחב נורמי, ובפרט מרחב הילבט ומרחב בנך, הוא מרחב וקטורי טופולוגי.
  • מרחב וקטורי עם הטופולוגיה הטריוואלית הוא מרחב וקטורי טופולוגי.
  • מרחב הפונקציות המדידות על הקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0,1]} עם הטופולוגיה הנגזרת מהמטריקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(f,g)=\int_0^1{\frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}dx}} , הוא מרחב טופולוגי מטריזבלי שאינו קמור מקומית ועל כן איננו נורבילי.
  • כל מרחב Lp עם המטריקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(f,g)=\lVert f-g \rVert_p^p} הוא מרחב פרשה שאיננו מרחב בנך, בניגוד לשימוש הסטנדרטי בנורמה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lVert f\rVert_p} על מרחבי Lp. ניתן להשתמש בצורה זו של המרחב במקרים בהם נדרש לבצע פעולות גזירה על תוצאת המטריקה.
  • כל מרחב מכפלה קרטזית על מרחבים וקטורים טופולוגיים הוא מרחב וקטורי טופולוגי עם טופולוגיית המכפלה.

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ^ Gabriel Nagy, Topological Vector Spaces I: Basic Theory, Kensas State University, ‏2007-10-16 (באנגלית)
  2. ^ Eric W. Weisstein, Topological Vector Space, mathworld.wolfram.com (באנגלית)
  3. ^ Raz Kupferman, Topological vector spaces, האוניברסיטה העברית בירושלים, ‏2014-09-29 (באנגלית)
  4. ^ Hahn-Banach theorem in nLab, ncatlab.org (באנגלית)
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

36498188מרחב וקטורי טופולוגי

אוחזר מתוך "https://www.hamichlol.org.il/w/index.php?title=מרחב_וקטורי_טופולוגי&oldid=2294328"