הלמה של גרנוול
(הופנה מהדף הלמה של גרינוול)
במתמטיקה, הלמה של גרנוול (על שמו של המתמטיקאי השוודי תומאס ה. גרנוול - Grönwall) היא אי-שוויון, המשמש בין היתר להוכחת היחידות במשפט הקיום והיחידות עבור הפתרונות של משוואה דיפרנציאלית רגילה.
ניסוח הלמה
תהי $ \ f(x)\geq 0 $ פונקציה רציפה ואי-שלילית, המקיימת עבור קבוע $ \ A $ ועבור $ \ x>x_{0} $ את האי-שוויון הבא: $ {\displaystyle f(x)\leq A\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt} $אזי פונקציה זו היא בהכרח פונקציית האפס - $ \ f(x)\equiv 0 $.
הוכחה
ברור שמתקיים $ A\geq 0 $ כי אם לא נקבל באגף ימין ביטוי שלילי, כעת על ידי העברת אגף ימין ניתן לראות כי:
- $ \ f(x)-A\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt\leq 0 $
- זוהי משוואה דיפרנציאלית עבור:
- $ \ g(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt $
- $ \ g'(x)=f(x) $ (לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי)
- על ידי כפל בגורם אינטגרציה $ \ e^{-Ax} $ תתקבל המד"ר הבאה:
- $ \ e^{-Ax}g'(x)-A\cdot g(x)e^{-Ax}=(e^{-Ax}g(x))'\leq 0 $
- על ידי ביצוע אינטגרציה $ \ \int _{x_{0}}^{x}dt $ על שני צידי האי שוויון נקבל:
- $ \ e^{-Ax}g(x)=e^{-Ax}\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt\leq 0 $
- פונקציית האקספוננט היא אי-שלילית ($ \ e^{h(x)}\geq 0 $ לכל $ \ h(x) $) ולכן המסקנה היא:
- $ \int _{x_{0}}^{x}f(t)dt\leq 0 $
- ולפי ההנחה מתקיים: $ f(x)\leq A\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt\leq 0 $
- אבל ההנחה היא גם כי $ \ f(x)\geq 0 $ ולכן בהכרח $ \ f(x)=0 $
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] הלמה של גרנוול24185668