הלמה של גרנוול

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף הלמה של גרינוול)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, הלמה של גרנוול (על שמו של המתמטיקאי השוודי תומאס ה. גרנוול - Grönwall) היא אי-שוויון, המשמש בין היתר להוכחת היחידות במשפט הקיום והיחידות עבור הפתרונות של משוואה דיפרנציאלית רגילה.

ניסוח הלמה

תהי $ \ f(x)\geq 0 $ פונקציה רציפה ואי-שלילית, המקיימת עבור קבוע $ \ A $ ועבור $ \ x>x_{0} $ את האי-שוויון הבא: $ {\displaystyle f(x)\leq A\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt} $אזי פונקציה זו היא בהכרח פונקציית האפס - $ \ f(x)\equiv 0 $.

הוכחה

ברור שמתקיים $ A\geq 0 $ כי אם לא נקבל באגף ימין ביטוי שלילי, כעת על ידי העברת אגף ימין ניתן לראות כי:

$ \ f(x)-A\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt\leq 0 $
זוהי משוואה דיפרנציאלית עבור:

על ידי כפל בגורם אינטגרציה $ \ e^{-Ax} $ תתקבל המד"ר הבאה:

$ \ e^{-Ax}g'(x)-A\cdot g(x)e^{-Ax}=(e^{-Ax}g(x))'\leq 0 $
על ידי ביצוע אינטגרציה $ \ \int _{x_{0}}^{x}dt $ על שני צידי האי שוויון נקבל:

$ \ e^{-Ax}g(x)=e^{-Ax}\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt\leq 0 $

פונקציית האקספוננט היא אי-שלילית ($ \ e^{h(x)}\geq 0 $ לכל $ \ h(x) $) ולכן המסקנה היא:

$ \int _{x_{0}}^{x}f(t)dt\leq 0 $

ולפי ההנחה מתקיים: $ f(x)\leq A\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt\leq 0 $

אבל ההנחה היא גם כי $ \ f(x)\geq 0 $ ולכן בהכרח $ \ f(x)=0 $
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0


שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה

שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ]
הלמה של גרנוול24185668