השערת ברטראן

השערת ברטראן הוא היא משפט שניסח לראשונה המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ברטראן בשנת 1845, בצורת השערה. לפי טענה זו, לכל מספר טבעי n הגדול מ-3, קיים לפחות מספר ראשוני אחד בקטע $\left(n,2n-2\right)$ .

ברטראן העלה השערה זו לראשונה ב-1845, ואף וידא את תקפותה לכל n טבעי קטן מ-3 מיליון. למעשה השם "השערה" אינו מתאר נכונה טענה זו, שכן בשנת 1850 הציג המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב הוכחה מלאה לטענה, ועל כן היא בגדר משפט. לפיכך, היא נקראת לעיתים "משפט ברטראן-צ'בישב" או "משפט צ'בישב". המתמטיקאי ההודי סריניוואסה רמנוג'אן הציג בשנת 1919^[1] הוכחה פשוטה יותר למשפט, הנעזרת בתכונות של פונקציית גמא, ופאול ארדש הציג בשנת 1932 הוכחה פשוטה מזו ^[2], הנעזרת בפונקציית צ'בישב^[3] ובמקדמים בינומיים.

נימוק היוריסטי

ממשפט המספרים הראשוניים נובעת טענה חזקה בהרבה: לכל $\ \epsilon >0$ , אם n גדול מספיק אז יש ראשוניים בקטע $(n,n+\epsilon n)$ . הסיבה לכך היא שלפי המשפט, מספר המספרים הראשוניים הקטנים או שווים ל-x הוא בקירוב $\ \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}$ . (הפונקציה ln x מסמלת את הלוגריתם הטבעי. הפונקציה $\pi (x)$ מסמלת את פונקציית ספירת הראשוניים הקטנים או שווים ל-x.

המשפט מאפשר לחשב בקירוב את מספר הראשוניים בקטע. נקבל: $\ \pi ((1+\epsilon )n)-\pi (n)\sim {\frac {(1+\epsilon )n}{\ln((1+\epsilon )n)}}-{\frac {n}{\ln n}}={\frac {n}{\ln n}}\left({\frac {1+\epsilon }{(\ln(1+\epsilon )+\ln n)/\ln n}}-1\right)={\frac {n}{\ln n}}\left({\frac {1+\epsilon }{1+\ln(1+\epsilon )/\ln n}}-1\right)\sim {\frac {\epsilon n}{\ln n}}$ .

כאשר n שואף לאינסוף, ההפרש -- שהוא מספר הראשוניים בקטע -- שואף לאינסוף.

קישורים חיצוניים

השערת ברטראן, באתר MathWorld (באנגלית) המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.

הערות שוליים

^ הוכחתו של רמנוג'אן, שהוצגה בז'ורנל איגוד המתמטיקה ההודי בשנת 1919
^ P. Erdos, Acta Litt. Ac. Sci (Szegd) 5 (1932), 194-198. ראו גם: Hardy and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, subsection 22.3.
^ פונקציית צ'בישב מסומנת $\vartheta (x)$ וערכה $\vartheta (x)=\sum _{p<x}\ln(p)$ , כאשר האינדקס p רץ על מספרים ראשוניים בלבד