השערת ברטראן
השערת ברטראן הוא היא משפט שניסח לראשונה המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ברטראן בשנת 1845, בצורת השערה. לפי טענה זו, לכל מספר טבעי n הגדול מ-3, קיים לפחות מספר ראשוני אחד בקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(n, 2n-2\right)} .
ברטראן העלה השערה זו לראשונה ב-1845, ואף וידא את תקפותה לכל n טבעי קטן מ-3 מיליון. למעשה השם "השערה" אינו מתאר נכונה טענה זו, שכן בשנת 1850 הציג המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב הוכחה מלאה לטענה, ועל כן היא בגדר משפט. לפיכך, היא נקראת לעיתים "משפט ברטראן-צ'בישב" או "משפט צ'בישב". המתמטיקאי ההודי סריניוואסה רמנוג'אן הציג בשנת 1919[1] הוכחה פשוטה יותר למשפט, הנעזרת בתכונות של פונקציית גמא, ופאול ארדש הציג בשנת 1932 הוכחה פשוטה מזו [2], הנעזרת בפונקציית צ'בישב[3] ובמקדמים בינומיים.
נימוק היוריסטי
ממשפט המספרים הראשוניים נובעת טענה חזקה בהרבה: לכל , אם n גדול מספיק אז יש ראשוניים בקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n,n+\epsilon n)} . הסיבה לכך היא שלפי המשפט, מספר המספרים הראשוניים הקטנים או שווים ל-x הוא בקירוב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}} . (הפונקציה ln x מסמלת את הלוגריתם הטבעי. הפונקציה מסמלת את פונקציית ספירת הראשוניים הקטנים או שווים ל-x.
המשפט מאפשר לחשב בקירוב את מספר הראשוניים בקטע. נקבל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \pi((1+\epsilon)n) - \pi(n) \sim \frac{(1+\epsilon)n}{\ln ((1+\epsilon)n)} - \frac{n}{\ln n} = \frac{n}{\ln n}\left(\frac{1+\epsilon}{(\ln(1+\epsilon)+\ln n)/\ln n} - 1\right) = \frac{n}{\ln n}\left(\frac{1+\epsilon}{ 1 + \ln(1+\epsilon)/\ln n} - 1\right)\sim \frac{\epsilon n}{\ln n}} .
כאשר n שואף לאינסוף, ההפרש -- שהוא מספר הראשוניים בקטע -- שואף לאינסוף.
קישורים חיצוניים
- השערת ברטראן, באתר MathWorld (באנגלית) המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.
הערות שוליים
- ^ הוכחתו של רמנוג'אן, שהוצגה בז'ורנל איגוד המתמטיקה ההודי בשנת 1919
- ^ P. Erdos, Acta Litt. Ac. Sci (Szegd) 5 (1932), 194-198. ראו גם: Hardy and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, subsection 22.3.
- ^ פונקציית צ'בישב מסומנת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vartheta(x)} וערכה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vartheta(x) = \sum_{p<x} \ln (p) } , כאשר האינדקס p רץ על מספרים ראשוניים בלבד
